Megmutatjuk, hogy legfeljebb 5 lépésben mindig eljuthatunk az $\left(\mathrm{1,}\mathrm{0,}0\right)$ számhármashoz.
Először abban az esetben oldjuk meg a feladatot, ha például $b$ és $c$ relatív prímek. Ekkor bármilyen szám, így az 1 is előállítható $a+xb+yc$ alakban, alkalmas $x$ és $y$ egész számokkal. Ezért két lépésben eljuthatunk az $\left(\mathrm{1,}b\mathrm{,}c\right)$ számhoz úgy, hogy $a$-hoz előbb $b$  $x$-szeresét, majd $c$  $y$-szorosát adjuk hozzá. Ezután további két triviális lépésben eljuthatunk az $\left(\mathrm{1,}\mathrm{0,}0\right)$ számhármashoz. Abban az esetben tehát, ha $b$ és $c$ relatív prímek, 4 lépés biztosan elegendő.
Most bebizonyítjuk, hogy egyetlen lépésben elérhető, hogy a számhármas két eleme relatív prím legyen.
Ha $b$ vagy $c$ nulla, akkor a másik két szám relatív prím.
Ha $b$ és $c$ egyike sem 0, akkor legyen $d$ a $c$ azon prímtényezőinek szorzata, amelyek nem osztják $b$-t. (Ha ilyen prímosztó nincs, akkor legyen $d=1$.) Azt állítjuk, hogy az egy lépésben előálló $\left(a\mathrm{,}b+da\mathrm{,}c\right)$ számhármas megfelelő, azaz $b+da$ és $c$ relatív prímek. Tekintsük $c$ egy tetszőleges $p$ prímosztóját; azt kell igazolnunk, hogy ez nem osztója a $b+da$ számnak.
Ha $p$ osztója $b$-nek, akkor $d$ definíciója szerint $p$ nem osztója $d$-nek. Azt is tudjuk, hogy $a$, $b$ és $c$ relatív prímek, tehát $p$ az $a$-nak sem lehet osztója. Ebben az esetben tehát a $b+da$ összeg első tagja osztható $p$-vel, a második tagja nem.
Ha $p$ nem osztója $b$-nek, akkor $d$ definíciója szerint $p$ osztója $d$-nek. Tehát a $b+da$ összeg első tagja nem osztható $p$-vel, a második tagja viszont osztható vele.
Mindkét esetben azt kaptuk, hogy $p$ nem osztója a $b+da$ számnak.
Összefoglalva: egy lépésben elérhetjük, hogy a második és a harmadik szám relatív prím legyen, innen pedig további négy lépésben eljuthatunk az $\left(\mathrm{1,}\mathrm{0,}0\right)$ számhármashoz.