Kezdőlap


Feladat:	B.3318	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Gergely
Füzet:	2000/szeptember, 350 - 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körsorok, Körérintők, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/november: B.3318

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha két kör és egy egyenes az 1. ábrán látható módon érinti egymást, a körök sugarai $R$ és $r$ , az egyenesen lévő érintési pontok távolsága pedig $d$ , akkor a körök középpontjai és az érintési pontok egy derékszögű trapézt alkotnak, amelynek oldalaira ‐ a Pitagorasz-tételt alkalmazva ‐ teljesül a $d^{2} = 4 R r$ összefüggés.
Legyen a feladatunkban szereplő $k_{i}$ kör és $e$ érintési pontja $E_{i}$ . A $k_{i}$ kör definíciójából következik, hogy $i > 2$ esetén $E_{i}$ az $E_{1} E_{i - 1}$ szakasz belső pontja. Ezért

\begin{matrix} E_{1} E_{i} = E_{1} E_{i + 1} + E_{i + 1} E_{i} . \end{matrix}

Vagyis az érintési pontok közti távolságot a körök sugarainak segítségével kifejező, az előző bekezdésben bizonyított eredményt felhasználva

\begin{matrix} \sqrt[]{4 r_{1} r_{i}} = \sqrt[]{4 r_{1} r_{i + 1}} + \sqrt[]{4 r_{i + 1} r_{i}}, \end{matrix}

és ezért

\begin{matrix} \sqrt[]{r_{i + 1}} = \frac{\sqrt[]{r_{1} r_{i}}}{\sqrt[]{r_{1}} + \sqrt[]{r_{i}}} . \end{matrix}

Teljes indukcióval belátjuk, hogy ebből az összefüggésből

\sqrt[]{r_{i + 1}} = \frac{1}{i}

következik. Állításunk

i = 1

esetén igaz, mert

r_{2} = 1

. Tegyük fel, hogy az állítás igaz, ha

2 \leq i \leq k

. Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[]{r_{k + 1}} = \frac{\sqrt[]{r_{1} \cdot r_{k}}}{\sqrt[]{r_{1}} + \sqrt[]{r_{k}}} = \frac{1 \cdot \frac{1}{k - 1}}{1 + \frac{1}{k - 1}} = \frac{1}{1 + (k - 1)} = \frac{1}{k} . \end{matrix}

Tehát

\sqrt[]{r_{i + 1}} = \frac{1}{i}

minden

i

-re igaz, ezért

r_{1999} = \frac{1}{1998^{2}}

Kiss Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)