Feladat: B.3316 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Bákor Krisztina 
Füzet: 2000/április, 224 - 225. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Szinusztétel alkalmazása, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/november: B.3316

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A P ponton átmenő, BC oldallal párhuzamos egyenes messe az AC oldalt az M pontban (1. ábra).
Mivel  MP‖CB  és  EB=EC, azért
MC=PB=AP.
Írjuk fel a párhuzamos szelők tételét az ADC háromszögben:
AMAC=APAD,azazAM⋅AD=AP⋅AC.
Innen
1AP=ACAM⋅AD=AM+MCAM⋅AD=AMAM⋅AD+MCAM⋅AD==1AD+APAP⋅AC=1AD+1AC.

 Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Kísérl. Gimn., 11. o.t.)

 
II. megoldás. Ha EB=EC, akkor ECB∢=CBE∢=γ. Jelöljük a PDB szöget δ-val, ekkor PDC∢=180∘-δ (2. ábra).
Írjuk fel a szinusztételt előbb az ADC, majd a PDB háromszögben:
sin(180∘-δ)sinγ=ACADsinδsinγ=PBPD.
Mivel sin(180∘-δ)=sinδ, így
ACAD=PBPD=APAD-AP,
ahonnan
APAC=AD-APAD=1-APAD.
Átrendezve, majd AP-vel osztva:
1AC+1AD=1AP.

 Bákor Krisztina (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., 12. o.t.)