Feladat:	B.3313	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Börzsönyi Ádám
Füzet:	2000/szeptember, 350. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Rombuszok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/november: B.3313

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Mivel $ABP\sphericalangle +PBD\sphericalangle ={60}^{\circ }$ és $PBD\sphericalangle +DBQ\sphericalangle ={60}^{\circ }$, így $ABP\sphericalangle =DBQ\sphericalangle$. Ekkor viszont az $ABP$ és a $DBQ$ háromszögek egybevágóak, mivel egy oldaluk hossza és két szögük egyenlő. Így $PB=QB$, és mivel közbezárt szögük ${60}^{\circ }$, így a $PBQ$ háromszög szabályos, tehát a $QPB\sphericalangle =PQB\sphericalangle ={60}^{\circ }$.  Börzsönyi Ádám (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Ref. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Forgassuk el az $ABD$ szabályos háromszöget $B$ körül ${60}^{\circ }$-kal az óramutató járásával megegyező irányba, az ábra szerint!     Az $ABD$ háromszög elforgatottja nyilván a $DBC$ háromszög lesz. Mivel $PBQ\sphericalangle ={60}^{\circ }$, így a $P$ pont elforgatottjának képe biztosan a $BQ$ egyenesén van. Mivel azonban $P$ rajta van az $AD$ szakaszon, elforgatottjának a $DC$ szakaszon kell lennie, így csakis a $BQ$ és $DC$ metszéspontja, azaz $Q$ lehet, tehát $PB=BQ$, így a $PBQ$ háromszög is szabályos, azaz minden szöge ${60}^{\circ }$-os.