Kezdőlap


Feladat:	C.558	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/szeptember, 345 - 346. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetrács geometriája, Kombinatorikai leszámolási problémák, Négyzetszámok összege, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/november: C.558

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $n \times n$ -es négyzetbe a feladat feltételeinek megfelelően 1, 2, 3, $...$ , $n$ oldalhosszúságú négyzetek rajzolhatók.
Egy $k \times k$ -as négyzet helyzetét egyértelműen meghatározhatjuk pl. a bal felső sarkának koordinátáival, ami mindkét irányban $(n - k + 1)$ -féle lehet.
Így egy $k \times k$ -as négyzetet összesen ${(n - k + 1)}^{2}$ -féleképpen helyezhetünk el.
Az összes négyzet száma tehát:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} {(n - k + 1)}^{2} = n^{2} + {(n - 1)}^{2} + {(n - 2)}^{2} + ... + 1^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}