A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az egész szám kétféle felbontása: ahol , , , pozitív egész számok, és például , . Átrendezve és szorzattá alakítva az egyenlőséget, kapjuk, hogy A négy tényező paritása megegyezik, mert ha páratlan, akkor is az, tehát szorzatuk is páratlan, így a jobb oldali két tényező ugyancsak páratlan lesz. Vagyis ebben az esetben -nek 4 különböző pozitív páratlan osztója van. Hasonló mondható el a páros esetre is. Könnyű olyan kis egész számot találni, amelynek 4 különböző páratlan pozitív osztója van. Ha felírjuk sorban az egész számokat, és megnézzük, melyiknek hány osztója van, rögtön láthatjuk, hogy például ilyen; osztói: 1, 3, 5 és 15. Az osztók szorzatára az egyenlőség áll fenn. Mivel ; , , ahonnan , . Továbbá miatt , , és innen , . Valóban, megoldás. Most már csak azt kell igazolnunk, hogy 65 a legkisebb egész szám, amely eleget tesz a követelménynek. Ehhez készítsük el az összegek táblázatát esetére. A táblázatból leolvashatjuk, hogy a négyzetösszegek mind különbözők, kivéve az általunk már megkapott 65-öt.
Megjegyzés. A Gauss-egészek számelméletéből tudjuk, hogy az szám alakú, ahol és a két legkisebb alakú pozitív prímszám, azaz , és .
|
|