Bármelyik pont körül forgatunk körbe egy egyenest, az egyenes két oldalán levő pontok számának a különbsége mindig 1-gyel nő vagy csökken, és 180 fok elfordulás után ez a különbség az ellentettjére változik. Ebből következik, hogy van olyan állása a forgó egyenesnek, amikor a szóban forgó különbség 0. Így minden pontból indul ki felező szakasz. A felező szakaszok száma ezért pontosan akkor $n$, ha mindegyik pontból pontosan egy felező szakasz indul ki.
Tegyük fel, hogy van két felező szakasz, amelyek nem metszik egymást. Könnyű meggondolni, hogy a két felező szakasz nem lehet párhuzamos. (A párhuzamosságot a pontok kis elmozdításával is elkerülhetnénk.) Az egyik felező szakasz egyenese ($e$) a másik szakasznak ($AB$-nek) mondjuk $A$-n túli meghosszabbítását metszi. Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges.
Húzzunk $A$-n keresztül párhuzamost $e$-vel, legyen ez $e\text{'}$. Ha az $AB=f$ egyenest $A$ körül egy nagyon kis szöggel elforgatjuk pozitív és negatív irányba, akkor az így kapott $f_1$ és $f_2$ egyenesek két oldalán ugyanazok a pontok helyezkednek el, mint az $f$ két oldalán, kivéve a $B$ pontot. Ezért $f_1$-nek és $f_2$-nek a $B$-t tartalmazó oldalán eggyel több pont van, mint a másikon.
Ugyanakkor az $e\text{'}$ egyenes $B$-t tartalmazó oldalán kevesebb pont van, mint a másikon, mert $e$ egy felező, amelynek $B$-t tartalmazó partján van az $A$ pont, a vele párhuzamos $e\text{'}$ egyenes $B$-t tartalmazó partján viszont nincs ott az $A$ pont, ezen kívül $e\text{'}$-nek a $B$-t nem tartalmazó oldalán van az $e$ egyenes két $H$-beli pontja is.
Körbeforgatva az $f$ egyenest $A$ körül, az $f_1$ és $e\text{'}$, illetve $f_2$ és $e\text{'}$ egyenesek közti tartományban is kell lennie $A$ kezdőpontú felező szakasznak. Az $A$ pontból tehát legalább három felező szakasz indul ki, ami ellentmond annak az észrevételünknek, hogy a halmaz minden pontjából egy felező szakasz indul ki.