Kezdőlap


Feladat:	B.3308	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2000/március, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: B.3308

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek $p$ és $p + 2$ olyan ikerprímek, amelyeknek összege valamely $q$ prímszám hatványa:

\begin{matrix} \begin{matrix} p + (p + 2) = q^{k} (k \geq 1egész szám). \\ Ekkor2 (p + 1) = q^{k}, tehátq2-vel osztható, így csakq = 2lehet: \\ 2 (p + 1) = 2^{k}, \\ ahonnan \\ p = 2^{k - 1} - 1 és p + 2 = 2^{k - 1} + 1 \end{matrix} \end{matrix}

egyaránt prímek. Mivel

2^{k - 1}

nem osztható 3-mal, de három egymást követő természetes szám közül az egyik biztosan osztható, így vagy

3 ∣ p

, vagy

3 ∣ p + 2

, és mivel mindkettő prím, csak

p = 3

lehet. Ekkor

p + 2 = 5

is prím, és összegük

8 = 2^{3}

.
Tehát egyetlen megoldás van, a

(3, 5)

számpár.