Kezdőlap


Feladat:	B.3306	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sors Erika
Füzet:	2000/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Súlyvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: B.3306

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A D F$ háromszög területét $t$ -vel. Az $A E F$ háromszögben $F D$ , az $A E C$ háromszögben pedig $E F$ súlyvonal. Ezért $t_{A E F} = 2 t_{A D F} = 2 t$ és $t_{A E C} = 2 t_{A E F} = 4 t$ . Az $A E C$ és az $E B C$ háromszögek $C$ -hez tartozó magassága közös, ezért területeik aránya megegyezik $A E$ és $E B$ arányával, ami 2. Tehát $t_{E B C} = \frac{1}{2} t_{A E C} = 2 t$ . Ezért az $A B C$ háromszög területe $6 t$ , vagyis $t = \frac{1}{6}$ .
Az $A C H$ háromszögben $H F$ súlyvonal, tehát $t_{A F H} = t_{F C H}$ . Az $A B H$ háromszögben $D$ harmadolja az $A B$ oldalt, ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \cdot t_{A D H} = t_{D B H}, vagyis 2 \cdot (\frac{1}{6} + t_{F C H}) = 5 \cdot \frac{1}{6} + t_{F C H}, \end{matrix} \end{matrix}

amiből kapjuk, hogy

t_{F C H} = \frac{1}{2}

. Az

E

is harmadolja az

A B

oldalt, ezért

2 \cdot t_{E G B} = t_{A G E}

, és mivel az

A G C

háromszögben

G F

súlyvonal, azért

\begin{matrix} \begin{matrix} t_{A G F} = t_{F G C}, vagyis 2 \cdot \frac{1}{6} + 2 t_{E G B} = 4 \cdot \frac{1}{6} + t_{E G B}, \end{matrix} \end{matrix}

amiből kapjuk, hogy

t_{E G B} = \frac{1}{3}

.
Tehát a keresett terület

t_{F G H} = t_{E G B} + t_{E B C F} + t_{F C H} = \frac{1}{3} + \frac{4}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Sors Erika (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.)