Feladat:	B.3305	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szilasi Zoltán
Füzet:	2000/március, 163 - 164. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: B.3305

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tekintsük az adott egyenletet $y$ változójú másodfokú paraméteres egyenletnek. Ha a kétismeretlenes egyenletnek egyetlen számpár a megoldása, akkor a $\begin{array}{c}{\displaystyle 7y^2+\left(4x-2\right)y+2x^2-12x+N=0}\end{array}$ egyenletnek is csak egyetlen $y_0$ megoldása lehet, azaz a diszkriminánsa, $D_1=0$: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle D_1={\left(4x-2\right)}^2-28\left(2x^2-12x+N\right)}& {\displaystyle =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -40x^2+320x-28N+4}& {\displaystyle =\mathrm{0,}\text{rendezve}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10x^2-80x+\left(7N-1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mivel az eredeti egyenletet csak egyetlen $x_0$ elégítette ki, azért ennek is csak egyetlen megoldása lehet, azaz diszkriminánsa, $D_2=0$: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle D_2={80}^2-40\left(7N-1\right)}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 161}& {\displaystyle =7N\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ tehát $N=23$. Azt kaptuk, hogy ha az (1)-nek egyetlen $\left(x_0\mathrm{,}{y}_0\right)$ megoldása van, akkor az $N$ értéke 23 kell legyen. Meg kell azonban néznünk, hogy $N=23$ esetén valóban kapunk-e megoldást: visszahelyettesítve $x=4$ és $y=-1$ valóban az egyenlet megoldását adják. Tehát (október) 23-án volt a felkelés.  Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Alakítsuk át az egyenletet az eredetivel ekvivalenssé: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2{\left(x+y-3\right)}^2+5{\left(y+1\right)}^2+N-23=0.}\end{array}$ Ennek az egyenletnek pontosan akkor van egy megoldása, ha $N=23$. Bevezethetjük ugyanis az új $x_1=x+y-3$, $y_1=y+1$ ismeretleneket, ezekre $x=x_1-y_1+4$ és $y=y_1-1$, tehát az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ és $\left(x_1\mathrm{,}{y}_1\right)$ számpárok megfeleltetése kölcsönösen egyértelmű. Az pedig világos, hogy a $2x_1^2+5y_1^2=M$ egyenletnek páros sok megoldása van, ha $M\ne 0$, hiszen ha pl. $x_1\ne 0$ egy megoldáshoz tartozik, akkor $-x_1$ is.   Megjegyzések. 1. Azok, akik nem vizsgálták meg, $N=23$ esetén valóban van-e egyetlen megoldás, csak 3 pontot kaptak. 2. Az (1) egyenlet egyébként egy úgynevezett másodrendű elliptikus görbe egyenlete, amelynek csak akkor lesz egyetlen megoldása, ha a görbe pontellipszis, azaz ha mátrixának determinánsa 0. Szilasi Zoltán második megoldásában ebből számolta ki $N$ értékét.