Feladat: B.3304 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Szilárd ,  Medve Kinga Sára ,  Papp Dávid 
Füzet: 2000/március, 163. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Egész számok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/október: B.3304

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy sikerült a kocka éleire számokat írni a kívánt módon. Legyen az egy csúcsba befutó élekre írt számok összege X ‐ ez nyilván egész szám. Ha összeadjuk az összes csúcsba befutó élekre írt számokat, akkor ‐ mivel minden élet pontosan két csúcsnál (a két végpontjánál) vettünk figyelembe ‐ megkapjuk 1-től 12-ig az egész számok összegének kétszeresét:

8X=2(1+2+...+12)=2⋅12⋅132=12⋅13,
innen 2X=3⋅13, ami lehetetlen, hiszen a bal oldal páros, a jobb oldal pedig páratlan. Ellentmondásra jutottunk, tehát nincs a feladat feltételeinek megfelelő számozás.
 Medve Kinga Sára (Eger, Dobó I. Gimn., 11. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Csak azok kaptak maximális pontszámot, akik számolásuk mellé indoklást is írtak.
2. Medve Kinga Sára megoldásában azt is megmutatta, hogy tetszőleges egymás után következő 12 egész számmal sem lehet a kocka éleit úgy megszámozni, hogy mindegyik csúcsban ugyanannyi legyen az oda befutó élekre írt számok összege.
3. Horváth Szilárd (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 11. o.t.) második megoldása a 13-mal való oszthatóságra támaszkodott.
4. Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.) azt is belátta, hogy nemcsak azokra a testekre megvalósíthatatlan a számozás, amelyeknek c csúcsára és e élére e(e+1)c nem egész, hanem például a páratlan oldalú sokszög alapú hasábokra is.