Feladat: C.551 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2000/április, 210 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Kör egyenlete, Egyenesek egyenlete, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/október: C.551

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adjuk össze a két egyenletet:

x2+y2=x,(1)2xy=y,(2)
azt kapjuk, hogy
(x+y)2=x+y.(3)
Ha x+y≠0, akkor egyszerűsíthetünk vele, így az x+y=1 egyenlethez jutunk, ahonnan x=1-y helyettesítéssel
2y(1-y)=y,(2')
Ha y≠0, akkor egyszerűsítve y-nal a 2(1-y)=1 egyenletet kapjuk. Innen y=12 és (2)-ből x=12.
Ha y=0, akkor (1)-ből x=1 (hiszen feltettük, hogy x+y≠0).
Most térjünk vissza arra az esetre, ha x+y=0, vagyis x=-y. Ekkor a (2) egyenletből -2y2=y (y≠0) és így y=-12 és x=12, vagy y=0=x.
Az egyenletrendszernek 4 számpár tesz eleget:
x1=12,y1=12;x2=0,y2=0;x3=12,y3=-12;x4=1,y4=0.
Helyettesítéssel könnyen igazolhatjuk, hogy mind a 4 számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.
 
Megjegyzés. Koordinátageometriai úton szemléltethető az egyenletrendszer, azt is láthatjuk, hogy négy megoldást kapunk, és maguk a megoldások is szinte azonnal adódnak: (1)-et (x-12)2+y2=(12)2 alakba írva egy C(12;0) középpontú, 12 sugarú kört kapunk, (2)-t szorzattá alakítva 2y(x-12)=0, egy metsző egyenespár egyenlete. (A metszéspont a kör középpontja.)
Az egyik megoldáspárt az x tengely és a kör metszéspontjaként kapjuk: (0,0), (1,0); a másik az x=12 egyenletű egyenes és a kör metszéspontjaként olvasható le: (12,-12) és (12;12).