A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzés az F. 3288. feladathoz
F. 3288. Legyenek és pozitív egészek és prímszám úgy, hogy . Bizonyítsuk be, hogy ekkor osztható -nal is. A KöMaL 2000/1. számának 36‐37. oldalán a fenti feladatra két megoldást is közöltünk. Amint arra Kiss Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) felhívta a figyelmünket, az I. megoldás hibás, az állítás, amelyből az indukció kiindul, nem igaz. Abból ugyanis, hogy a legkisebb olyan egész szám, amire , nem következik, hogy a legkisebb olyan pozitív egész, amelynek faktoriálisa -nel osztható. A legegyszerűbb ellenpélda a . Ekkor az a legkisebb , amire osztható -gyel, az ; és osztható -nel is.
A megjelent hibás teljes indukciós bizonyítás helyett Fried Ervin az alábbi bizonyítást bocsátotta a lap rendelkezésére:
Legyen rögzített prímszám, és jelölje azt a legnagyobb kitevőt, amelyre osztója -nak. Elég az állítást -re bizonyítani, hiszen esetén osztója -nek. (Az eddigiek csak az egyszerűbb számolást szolgálják.) Azt kell tehát bizonyítani, hogy osztója -nak. Ezt az állítást -re vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk. Az esetben következtében az állítás igaz. Tegyük fel, hogy az állítás teljesül minden -nél kisebb természetes szám esetében, és vizsgáljuk -t. Ha nem osztója -nek, akkor miatt osztója -nak; így -nak is. Legyen most . Mivel prímszám, azért az -ban fellépő maximális -hatvány megegyezik az , , , számok szorzatában fellépő maximális prímhatvánnyal. Ez a szorzat pontosan . Így . Bontsuk fel most az -t tényező szorzatára. Az első tényező a következő: | | Ezen tényezők mindegyike osztható faktoriálissal, hiszen bármilyen egész szám esetén egymás utáni egész szám szorzata osztható -sal. Ez a szorzat tehát osztható a számmal. A fennmaradó tényező a szorzat. A tényezőt az előző szorzathoz hozzávéve egy olyan szorzatot kapunk, amely osztható -nel. Az indukciós feltevés és miatt osztható -nel. A már belátott összefüggésből következik az állítás. |
|