Kezdőlap


Feladat:	B.3342	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Árvay Eszter
Füzet:	2000/október, 414. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: B.3342

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldandó az $n^{2} - 19 n - 99 = k^{2}$ egyenlet, ahol $k$ és $n$ pozitív egész számok. $n^{2} - 19 n - (99 + k^{2}) = 0$ , ahonnan $n_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt[]{4 k^{2} + 757}}{2}$ . Akkor lehet $n$ pozitív egész, ha $4 k^{2} + 757$ négyzetszám: $4 k^{2} + 757 = l^{2}$ , ahol $l$ is pozitív egész.

\begin{matrix} 757 = (l - 2 k) (l + 2 k) . \end{matrix}

Mivel a 757 prímszám, az osztói: 1,

- 1

, 757,

- 757

. A feltételek mellett

l - 2 k < l + 2 k

, így két lehetőség lenne:

l - 2 k = - 757

és

l + 2 k = - 1

(de ez nem lehetséges, hiszen

k

l

pozitív egész), illetve

l - 2 k = 1

és

l + 2 k = 757

.
Az egyenletrendszer megoldása

l = 379

k = 189

. Ekkor

n_{1} = 199

n_{2} = - 180

. A feltételeknek az

n = 199

tesz eleget és valóban:

199^{2} - 19 \cdot 199 - 99 = 35 721 = 189^{2}

Árvai Eszter (Szekszárd, Garay J. Gimn., 11. o.t.)