Kezdőlap


Feladat:	C.446	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Olivér , Boros M. Mátyás , Csizmadia Zsolt , Fehér Lajos Károly , Kispál István , Kovács Attila , Lajtos Tímea , Mészáros Albert , Nagy Gábor , Nagy János , Polyák Tamás , Sarlós Ferenc , Terpai Tamás , Tirpák Miklós , Varanka János , Végh A. László
Füzet:	1998/április, 215 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: C.446

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a tízes számrendszerbeli számot a szokásos módon

\begin{matrix} a_{n} 10^{n} + a_{n - 1} 10^{n - 1} + ... + a_{1} 10 + a_{0} \end{matrix}

alakban. Keressük az

\begin{matrix} (a_{n} 10^{n} + a_{n - 1} 10^{n - 1} + ... + a_{1} 10 + a_{0}) k = a_{0} 10^{n} + a_{1} 10^{n - 1} + ... + a_{n} \end{matrix}

(1)

egyenlet megoldásait, ahol

k

legalább 1 és legfeljebb 9, mivel a szám és megfordítottja ugyanannyi jegyet tartalmaz.
Legyen először

k = 1

, és rendezzük át az (1) egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} 10^{n} (a_{n} - a_{0}) + 10^{n - 1} (a_{n - 1} - a_{1}) + ... + (a_{0} - a_{n}) = 0. \end{matrix}

Az egyenlőség csak akkor teljesül, ha valamennyi különbség 0, (mivel

a_{n}

a_{n - 1}

...

a_{0}

mind pozitív és 10-nél kisebb egész, és 10-nek semelyik hatványa sem 0), azaz

a_{n} = a_{0}

a_{n - 1} = a_{1}

...

, vagyis a szám önmagának tükörképe. (Páratlan sok számjegy esetén a középső számjegyre tükrös, páros sok számjegy esetén a két középső jegy megegyezik.) Az ilyen számok ki is elégítik a feladat követelményét.
Megmutatjuk, hogy a feladatnak az előbbieken kívül csak

k = 4

és

k = 9

esetén van még megoldása.
Legyen

k = 4

, ekkor

\begin{matrix} (\bar{a_{n} a_{n - 1} ... a_{1} a_{0}}) \cdot 4 = a_{0} a_{1} ... a_{n} . \end{matrix}

Itt

a_{n}

páros, és legfeljebb 2 lehet, és mivel

2 \cdot 4 = 8

a_{0} = 8

vagy esetleg 9. De ha

a_{0} = 9

lenne, akkor a 4-szerese nem végződhetne 2-re, ezért

a_{0} = 8

, és így

\begin{matrix} (\bar{2 a_{n - 1} ... a_{1} 8}) \cdot 4 = \bar{8 ... 2} . \end{matrix}

a_{n - 1} = 3

lenne, akkor

4 \cdot 23 > 90

; nem lehetséges. Így

a_{n - 1}

vagy 0, vagy 1, vagy 2.
Az

\bar{a_{1} 8} \cdot 4

szorzatban tetszőleges

a_{1}

esetén a tízesek helyén mindig páratlan szám áll, ezért

a_{n - 1}

csak 1 lehet.

\begin{matrix} (\bar{21 ... 8}) \cdot 4 = (8 ... 21) . \end{matrix}

a_{1}

csak 2 vagy 7 lehet, mert csak ezekre igaz, hogy a fenti szorzat 1-re végződik, mert

4 \cdot 2 + 3 = 11

4 \cdot 7 + 3 = 31

. De 2 nem állhat az utolsó előtti helyen, mert

\begin{matrix} (\bar{21 ... 28}) \cdot 4 = (82 ... 12) \end{matrix}

esetén

4 \cdot 21 = 84 > 82

lenne.
Marad az

a_{1} = 7

, és a

2178 \cdot 4 = 8712

négyjegyű szám valóban megoldás.
Most belátjuk, hogy ha 21 és 78 közé akárhány 9-est írunk, továbbra is jó megoldást kapunk.
Az eredeti szám:

21 {\underset{︸}{.....}}_{kdarab 9-es}^{} 78

, megfordítottja:

87 {\underset{︸}{.....}}_{kdarab 9-es}^{} 12

.
Végezzük el a következő átalakításokat:

\begin{matrix} 21 {\underset{︸}{99 ... 9}}_{kdarab 9-es}^{} 78 = 21 \cdot 10^{k + 2} + 10^{k + 2} - 10^{2} + 78 = 22 \cdot 10^{k + 2} - 22; \end{matrix}

hasonlóképpen:

\begin{matrix} 87 {\underset{︸}{99 ... 9}}_{kdarab 9-es}^{} 12 = 87 \cdot 10^{k + 2} + 10^{k + 2} - 10^{2} + 12 = 88 \cdot 10^{k + 2} - 88, \end{matrix}

valóban a megfordított szám négyszerese az eredetinek.
A második esetben, ha

k = 9

, akkor

a_{n}

csak 1 lehet.

\begin{matrix} (\bar{1 ... 9}) \cdot 9 = (9 ... 1) \end{matrix}

a_{n - 1}

lehet 1 vagy 0, de az

a_{n - 1} = 1

azt jelentené, hogy

9 \cdot a_{1} + 8

szám 1-re végződik; ilyen egész szám viszont nincs; ezért

a_{n - 1} = 0

\begin{matrix} (10 ... 9) \cdot 9 = (9 ... 01), \end{matrix}

ahonnan

a_{1} = 8

adódik. Valóban,

(1089) \cdot 9 = 9801

, ez a négyjegyű szám is megoldása a feladatnak.
Az előzőkhöz hasonlóan most is beláthatjuk, hogy 10 és 89 közé akárhány 9-est írva jó megoldást kapunk.
Vizsgáljunk meg a kimaradó esetek közül egyet; pl.

k = 3

-ra

\begin{matrix} (\bar{a_{n} a_{n - 1} ... a_{0}}) \cdot 3 = (\bar{a_{0} a_{1} ... a_{n}}); \end{matrix}

a_{n}

legfeljebb 3 lehet, és ha

a_{n} = 3

, akkor

\begin{matrix} (3 a_{n - 1} ... a_{0}) \cdot 3 = (a_{0} a_{1} ... 3) . \end{matrix}

a_{0}

csak 1 lehet

3 a_{0} = . 3

miatt, ami lehetetlen, mert az egyenlet jobb oldalán kisebb szám állna, mint a bal oldalon.
A többi esetet végigvizsgálva láthatjuk, hogy nincs másféle megoldása az (1) egyenletnek. A megoldások száma így is végtelen.

Megjegyzés. A feladat szövege szerint ,,keressük meg az összes pozitív számot

...

'' a megoldók egy része elkezdte összeszámolni a megoldásokat. A kérdésre az is helyes válasz, hogy végtelen sok van (meg kell mondani persze, hogy ,,melyek ezek'', milyen összefoglaló tulajdonsággal rendelkeznek a feladat feltételei következtében).