Kezdőlap


Feladat:	B.3370	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton , Papp Dávid
Füzet:	2000/december, 538 - 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Események algebrája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: B.3370

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehető, hogy például $P (A) \leq P (B)$ . Mivel nyilván $P (A B) \leq P (A)$ , azért

\begin{matrix} \begin{matrix} P (A B) - P (A) P (B) \leq P (A) - P (A) P (B) = \\ P (A) (1 - P (B)) \leq P (B) (1 - P (B)) \leq {(\frac{P (B) + (1 - P (B))}{2})}^{2} = \frac{1}{4}, \end{matrix} \end{matrix}

a (kéttagú) számtani és mértani középre fennálló egyenlőtlenség szerint. Jelölje másrészt

\bar{A}

A

esemény tagadását; ekkor

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

. Alkalmazzuk a már bebizonyított

P (X Y) - P (X) P (Y) \leq \frac{1}{4}

egyenlőtlenséget az

X = B

Y = \bar{A}

eseményekre:

\begin{matrix} P (B \bar{A}) - P (B) P (\bar{A}) \leq \frac{1}{4} . \end{matrix}

(1)

B \bar{A}

és

B A

egymást kizáró események, és

B \bar{A} + B A = B

, ezért

P (B \bar{A}) = P (B) - P (B A)

. Így (1) szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{4} \geq P (B \bar{A}) - P (B) P (\bar{A}) = (P (B) - P (A B)) - (P (B) - P (B) P (A)) = \\ = P (A) P (B) - P (A B), \\ amit átrendezve: \\ P (A B) - P (A) P (B) \geq - \frac{1}{4}, \end{matrix} \end{matrix}

bizonyítva a kívánt egyenlőtlenség másik felét.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)

Megjegyzés. A bizonyított egyenlőtlenség éles: ha például

A = B

az az esemény, hogy egy érmét feldobva ,,fejet'' kapunk, akkor

P (A B) - P (A) P (B) = P (A) - P {(A)}^{2} = \frac{1}{4}

. Ha

B

-nek viszont az

A

tagadását választjuk, akkor

P (A B) - P (A) P (B) = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}

teljesül.

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.)