Kezdőlap


Feladat:	B.3369	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Béky Bence
Füzet:	2000/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: B.3369

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy tetraéder egy csúcsából kiinduló három éle közül az egyiket $λ$ -szorosára változtatjuk, a másik kettőt pedig változatlanul hagyjuk, akkor a keletkezett új tetraéder térfogata az eredeti tetraéder térfogatának $λ$ -szorosa lesz, mert a két tetraédernek lesz egy közös lapja, az ahhoz tartozó magasság pedig a párhuzamos szelők tétele miatt szintén $λ$ -szorosra változik.

A harmadolópontok által meghatározott test térfogatát úgy kaphatjuk meg, hogy az eredeti tetraéder térfogatából levonjuk annak a négy kis tetraédernek a térfogatát, amelyeket a nagy tetraéder egy-egy csúcsa, valamint az abból a csúcsból kiinduló három-három élen lévő harmadolópontok alkotnak. Legyen az eredeti tetraéder térfogata 27 egység. Ha megjelölünk egy élen egy harmadolópontot, akkor az él közelebbi végpontjához írjunk 1-est, a távolabbi végponthoz pedig 2-est. Így a tetraéder minden csúcsához összesen három szám kerül, s e számok szorzata az első bekezdésben leírtak alapján éppen az ott levágott kis tetraéder térfogatát adja.

A tetraéder 4 csúcsához összesen 6 db 1-est írtunk, ezért feltehetjük, hogy az

A B C D

tetraéder

A B

és

A C

élén is 1-et írtunk

A

-hoz.

B

-t és

C

-t választhatjuk úgy, hogy a

B C

élen

B

-nél legyen 1. Jelöljük a

D A

D B

és

D C

élen

D

-hez írt számokat rendre

(3 - a)

(3 - b)

(3 - c)

-vel. Ekkor a levágott kis tetraéderek térfogata

A

-nál

a

B

-nél

2 b

C

-nél

4 c

D

-nél pedig

(3 - a) (3 - b) (3 - c)

. Mivel

a

b

és

c

egymástól függetlenül 1 vagy 2 lehet, azért a következő nyolc eset lehetséges:

\begin{matrix} a & b & c & levágott tetraéderek össztérfogata \\ 1 & 1 & 1 & 15 \\ 1 & 1 & 2 & 15 \\ 1 & 2 & 1 & 13 \\ 1 & 2 & 2 & 15 \\ 2 & 1 & 1 & 12 \\ 2 & 1 & 2 & 14 \\ 2 & 2 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & 2 & 15 \end{matrix}

Tehát a harmadolópontok által meghatározott konvex test, azaz a levágások után megmaradó test térfogata

27 - 15 = 12

27 - 13 = 14

27 - 12 = 15

vagy

27 - 14 = 13

lehet, vagyis a keresett hányados értéke

\frac{12}{27}

\frac{13}{27}

\frac{14}{27}

vagy

\frac{15}{27}

Béky Bence (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján