Kezdőlap


Feladat:	B.3367	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Dávid
Füzet:	2000/december, 536 - 537. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek egybevágósága, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: B.3367

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hajtás során az $A$ csúcs a $B C$ szár $F$ felezőpontjába kerül, ezért a hajtás éle megegyezik az $A F$ szakasz ‐ vagyis a $B C$ szárhoz tartozó súlyvonal ‐ felező merőlegesével. Jelöljük ennek a felező merőlegesnek és az $A C$ , $A F$ , $A B$ szakaszoknak a metszéspontját rendre $K$ , $L$ , $M$ -mel.
Először vizsgáljuk meg, hogy milyen $p : q$ arányok esetén lesz $M$ az $A B$ alap belső pontja. Ha a $K L$ egyenes átmegy $B$ -n (1. ábra), akkor ‐ $G$ -vel jelölve az $F$ -en átmenő, $K L$ -lel párhuzamos egyenes és $A C$ metszéspontját ‐ a párhuzamos szelők tétele miatt $A K : K G = A L : L F = 1 : 1$ és $K G : G C = B F : F C = 1 : 1$ . Tehát $p : q = A K : K C = A K : (K G + G C) = 1 : 2$ . Ha a $p : q$ arány csökken, vagyis rögzített $A B$ esetén a $C$ csúcs távolodik az alaptól, akkor a $K L$ egyenes az $A B$ szakaszon kívül ‐ annak $B$ -n túli meghosszabbításán ‐ metszi az $A B$ egyenest.

1. ábra

2. ábra

3. ábra

Feltehetjük tehát, hogy

q < 2 p

. Jelöljük a

B

-ből, illetve

C

-ből az

A F

egyenesre bocsájtott merőlegesek talppontját

T_{1}

, illetve

T_{2}

-vel (2. ábra). Ekkor a

B F T_{1}

és a

C F T_{2}

derékszögű háromszögek egybevágóak, mert megfelelő szögeik egyenlők, és

B F = C F

. Ezért

T_{1} F = F T_{2}

. Legyen ez a távolság

y

A L = L F

pedig

x

. A párhuzamos szelők tétele szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{p}{q} = \frac{A K}{K C} = \frac{A L}{L T_{2}} = \frac{A L}{L F + F T_{2}} = \frac{x}{x + y} és & (1) \\ \frac{A M}{M B} = \frac{A L}{L T_{1}} = \frac{A L}{L F - F T_{1}} = \frac{x}{x - y} . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Az (1) egyenletből

y = \frac{q - p}{p} x

adódik, amit (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{A M}{M B} = \frac{x}{x - \frac{q - p}{p} x} = \frac{p}{2 p - q} . \end{matrix}

Tehát a hajtás élének másik végpontja

p : (2 p - q)

arányban osztja a háromszög

A B

alapját.

Somogyi Dávid (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Ha előjeles szakaszokkal számolunk, akkor

q > 2 p

esetén is igazak az (1) és (2) egyenlőségek, s így a végeredmény is ugyanaz. Ennek bizonyítása leolvasható a 3. ábráról.