Kezdőlap


Feladat:	B.3361	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Somogyi Dávid
Füzet:	2000/december, 534 - 535. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Vektorok felbontása összetevőkre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: B.3361

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka csúcsaiból a kocka köré írt gömb középpontjába vagy a középpontból a csúcsokba mutató vektoroknak az összege $0$ . Valóban, hiszen a kocka szimmetriaközéppontja megegyezik a köré írt gömb középpontjával, így csúcsból és az átellenes párjából a középpontba mutató két-két vektor összege $0$ , vagy fordítva, a középpontból egy csúcsba és az átellenes párjába mutató két-két vektor összege $0$ .

Legyenek a

K_{1}

csúcsai

A_{1}

A_{2}

...

A_{8}

, középpontja

O_{1}

, a

K_{2}

csúcsai

B_{1}

B_{2}

...

B_{j}

, középpontja pedig

O_{2}

. Az

\vec{A_{i} B_{j}}

vektor felírható

\begin{matrix} \vec{A_{i} B_{j}} = \vec{A_{i} O_{1}} + \vec{O_{1} O_{2}} + \vec{O_{2} B_{j}} \end{matrix}

alakban, tehát a 64 vektor összege:

\begin{matrix} 8 \cdot \sum_{i = 1}^{8} \vec{A_{i} O_{1}} + 64 \vec{O_{1} O_{2}} + 8 \cdot \sum_{j = 1}^{8} \vec{O_{2} B_{j}} . \end{matrix}

Viszont

\sum_{i = 1}^{8} \vec{A_{i} O_{1}} = \sum_{j = 1}^{8} \vec{O_{2} B_{j}} = 0

, ezért a 64 vektor összege

64 \vec{O_{1} O_{2}}

, ami valóban nem függ a kockák helyzetétől, csak a gömbközéppontok távolságától.

Somogyi Dávid (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.)