Kezdőlap


Feladat:	B.3356	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás , Boros Vazul , Pallos Péter
Füzet:	2000/december, 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: B.3356

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván

\begin{matrix} d = {(a + 1)}^{4} - a^{4} = ({(a + 1)}^{2} - a^{2}) ({(a + 1)}^{2} + a^{2}) = (2 a + 1) ({(a + 1)}^{2} + a^{2}) . \end{matrix}

a

egy négyzetszám kétszerese, akkor tehát

a = 2 k^{2}

mellett

\begin{matrix} d = ({(2 k)}^{2} + 1) ({(a + 1)}^{2} + a^{2}) = {(2 k (a + 1) + a)}^{2} + {(2 k a - (a + 1))}^{2} . \end{matrix}

Pallos Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzések. 1. A fenti példán kívül még sok más olyan pozitív egész

a

szám létezik, amelyre

{(a + 1)}^{4} - a^{4}

két négyzetszám összege. Ilyenek például:

a = \frac{n^{2} - 1}{2}

, ha

n

páratlan
(Birkner Tamás, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 7. o.t.), illetve

a = n (n + 1)

, tetszőleges

n

egészre (Boros Vazul, Budapest, Berzsenyi D. Gimn., 10. o.t.).
2. Ismeretes, bár e feladat megoldásához nem használható, hogy pontosan azok a természetes számok írhatók fel két négyzetszám összegeként, amelyeknek a prímtényezős felbontásában minden

4 k + 3

alakú prím páros kitevőn szerepel.