Kezdőlap


Feladat:	B.3336	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Koch Dénes
Füzet:	2000/december, 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Síkgeometriai bizonyítások, Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: B.3336

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első három transzformáció eredménye rendre $3^{\circ}$ -os, $3 + 9 = 12^{\circ}$ -os, $3 + 9 + 27 = 39^{\circ}$ -os elforgatás; ezek a szabályos háromszöget különböző helyzetekbe viszik, amelyek a kiindulási helyzettől is különböznek. Négy egymás utáni transzformáció eredménye viszont (a $k$ -adik elforgatás utáni helyzethez képest)

\begin{matrix} 3^{k + 1} + 3^{k + 2} + 3^{k + 3} + 3^{k + 4} = 3^{k} (3 + 9 + 27 + 81) = 3^{k} \cdot 120 \end{matrix}

fokos elforgatás, ami

120^{\circ}

többszöröse lévén, a szabályos háromszög helyzetét nem változtatja meg. A

(k + 4)

-edik forgatás utáni helyzet tehát megegyezik a

k

-adik forgatás utánival (minden

k

-ra), így a háromszög a mozgatások során összesen 4 különböző helyzetet vesz fel.

Koch Dénes (Linz, Akad. Gymn., 11. o.t.)

Megjegyzés. Sokan észrevették ugyan, hogy a negyedik forgatás önmagába viszi a háromszöget, de nem bizonyították be, hogy a továbbiakban is csak ez a négyféle helyzet állhat fenn. Ők 1 pontot kaptak megoldásukra.