Kezdőlap


Feladat:	C.587	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/december, 530 - 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Deltoidok, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: C.587

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ és $D$ -vel az ábra szerint. Mivel $B (n; 0)$ és $D (0; n)$ , a $B D = n \sqrt[]{2}$ .
A szerkesztés szimmetriájából következik, hogy az $A$ és $C$ pontok rajta vannak az $x$ és $y$ tengelyek szögfelezőjén, az $y = x$ egyenesen, ami merőleges a $B D$ átlóra. Így a keresett terület az átlók szorzatának a fele.
Az $A C$ távolság meghatározásához először $A$ és $C$ koordinátáit írjuk fel.
A $D (0; n)$ , $E (n - 1; 0)$ pontokon átmenő egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = \frac{- n}{n - 1} x + n . \end{matrix}

A

pont koordinátáit ezen egyenesnek az

y = x

egyenessel való metszéspontja adja.

\begin{matrix} A (\frac{n (n - 1)}{2 n - 1}; \frac{n (n - 1)}{2 n - 1}) . \end{matrix}

C

pont koordinátáit az

F (0; n + 1)

B (n; 0)

koordinátájú pontokon átmenő egyenesnek az

y = x

egyenessel való metszéspontja adja.
Az

F D

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = \frac{n + 1}{- n} x + n + 1 és így C (\frac{n (n + 1)}{2 n + 1}; \frac{n (n + 1)}{2 n + 1}) . \end{matrix}

A két pont távolsága:

\begin{matrix} \begin{matrix} A C & = \sqrt[]{{(\frac{n (n + 1)}{2 n + 1} - \frac{n (n - 1)}{2 n - 1})}^{2} + {(\frac{n (n + 1)}{2 n + 1} - \frac{n (n - 1)}{2 n - 1})}^{2}} = \\ = \sqrt[]{2 {(\frac{2 n^{2}}{4 n^{2} - 1})}^{2}} = \sqrt[]{2} \frac{2 n^{2}}{4 n^{2} - 1} . \end{matrix} \end{matrix}

Végül a négyszög területe:

\begin{matrix} T = \frac{B D \cdot A C}{2} = \frac{1}{2} n \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{2} \frac{2 n^{2}}{4 n^{2} - 1} = \frac{2 n^{3}}{4 n^{2} - 1} . \end{matrix}