Kezdőlap


Feladat:	C.583	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Salát Máté
Füzet:	2000/december, 528 - 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometriával, Négyszög alapú gúlák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: C.583

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gúla alaplapja $A B C D$ , magassága $E D$ . A gúlát egy egység oldalú kockából származtattuk; $A E = E C = \sqrt[]{2}$ , a kocka lapátlója, $E B = \sqrt[]{3}$ pedig a kocka testátlója. Az $A E D$ és $C E D$ lapsíkok az alapsíkra és egymásra merőlegesek, az $A E B$ és $B E C$ síkok az alapsíkkal $45^{\circ}$ -os szöget zárnak be, az $A E D$ , illetve $C E D$ lapokkal pedig hegyesszöget.

1. ábra

Ezért az

A E B

és

B E C

lapok által meghatározott szög a gúla legnagyobb lapszöge. Kiszámításához állítsunk merőlegest

A

-ból és

C

-ből az

E B

élre, ezek mérik a két sík hajlásszögét. A kocka szimmetriájából következik, hogy a két merőleges ugyanabban az

F

pontban metszi az

E B

élt.

2. ábra

Először az

A E B

háromszögben kiszámítjuk az

A F

szakasz hosszát az

A F B

és

A F E

derézögű háromszögekből:

\begin{matrix} \begin{matrix} A F^{2} = 1 - x^{2} A F^{2} = {(\sqrt[]{2})}^{2} - {(\sqrt[]{3} - x)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Innen

x = \frac{1}{\sqrt[]{3}}

és

A F = \sqrt[]{1 - {(\frac{1}{\sqrt[]{3}})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{2}{3}}

3. ábra

A F C

háromszögre felírjuk a koszinusztételt:

\begin{matrix} cos α = \frac{\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - 2}{2 \cdot \sqrt[]{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[]{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{2}, \end{matrix}

ahonnan

α = 120^{\circ}

, ez tehát a legnagyobb lapszög.

Megjegyzés. Három ilyen egybevágó gúlát összeilleszthetünk egy kockává. A kocka testátlója körül elhelyezkedő 3 egybevágó lapszög hézagtalanul kitölti a teret, vagyis egyre éppen

360^{\circ}

harmada, azaz

120^{\circ}

jut. A gúla többi lapszöge mind kisebb

120^{\circ}

-nál.

Salát Máté (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., 9. o.t.)