Kezdőlap


Feladat:	C.581	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gajdos Béla
Füzet:	2000/december, 527 - 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: C.581

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a leggyorsabb jármű $t_{1}$ idő alatt teszi meg az $A B = s$ távolságot, akkor $t_{1} = \frac{s}{v_{1}}$ . A leglassúbb jármű ezt a távolságot $t_{4}$ idő alatt teszi meg, $t_{4} = \frac{s}{v_{4}}$ .
Mivel a járművek egyenlő időközönként érkeznek $B$ -be, a $t_{4} - t_{1}$ időtartamot 3 egyenlő részre kell osztani, hogy megkapjuk az egyes járművek beérkezése között eltelt időt.

\begin{matrix} \frac{t_{4} - t_{1}}{3} = \frac{\frac{s}{v_{4}} - \frac{s}{v_{1}}}{3} = Δ t . \end{matrix}

A 2. jármű menetideje tehát

\begin{matrix} t_{2} = t_{1} + Δ t = \frac{s}{v_{1}} + \frac{\frac{s}{v_{4}} - \frac{s}{v_{1}}}{3} = \frac{1}{3} (\frac{2 s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{4}}); \end{matrix}

sebessége azért

\begin{matrix} v_{2} = \frac{s}{t_{2}} = \frac{s}{\frac{1}{3} (\frac{2 s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{4}})} = \frac{3 v_{1} v_{4}}{2 v_{4} + v_{1}} . \end{matrix}

A 3. jármű menetideje hasonlóan

\begin{matrix} t_{3} = t_{4} - Δ t = \frac{s}{3} (\frac{2}{v_{4}} + \frac{1}{v_{1}}); \end{matrix}

sebessége pedig

\begin{matrix} v_{3} = \frac{s}{t_{3}} = \frac{3 v_{1} v_{4}}{v_{4} + 2 v_{1}} . \end{matrix}

Megjegyzés. A feladat általánosítható

n

járműre. Ekkor az időközök nagysága

Δ t = \frac{t_{n} - t_{1}}{n - 1} = \frac{\frac{s}{v_{n}} - \frac{s}{v_{1}}}{n - 1}

, a

k

-adik jármű sebessége pedig

\begin{matrix} v_{k} = \frac{s}{t_{k}} = \frac{(n - 1) v_{1} v_{n}}{(n - 1) v_{n} + (k - 1) v_{1} - (k - 1) v_{k}} = \frac{(n - 1) v_{1} v_{n}}{(n - k) v_{n} + (k - 1) v_{1}} . \end{matrix}

Gajdos Béla (Beregszász, Bethlen G. Gimn., 12. o.t.)