Kezdőlap


Feladat:	A.230	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csóka Endre , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Varjú Péter , Zábrádi Gergely
Füzet:	2000/november, 486 - 487. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: A.230

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a < - 1$ , akkor (1) negatív, tehát nem lehet négyzetszám. Ha $a = - 1$ vagy $a = 0$ , akkor (1) értéke $0$ illetve $1$ , vagyis négyzetszám. Ha $a = 1$ , akkor a nevező $0$ , és (1) nem értelmes. A továbbiakban feltételezzük, hogy $a \geq 2$ .

\begin{matrix} \frac{a^{2000} - 1}{a - 1} = (a^{1000} + 1) \cdot (a^{500} + 1) \cdot \frac{a^{500} - 1}{a - 1} . \end{matrix}

A három tényezőt rendre

A

B

C

-vel jelölve

B

és

C

osztója

A - 2 = (a^{1000} - 1)

-nek, továbbá

C

osztója

B - 2 = (a^{500} - 1)

-nek. Ebből következik, hogy az

A

B

és

C

közül bármelyik kettő legnagyobb közös osztója legfeljebb

2

.
Három ilyen szám szorzata csak úgy lehet négyzetszám, ha mindegyikük külön-külön is négyzetszám vagy négyzetszám kétszerese. Az

A

és a

B

éppen

1

-gyel nagyobbak az

a^{1000}

illetve

a^{500}

pozitív négyzetszámoknál, ezért nem lehetnek négyzetszámok.
Ha

A

és

B

is egy-egy négyzetszám kétszerese, akkor

4 A B = 4 a^{1500} + 4 a^{1000} + 4 a^{500} + 4

négyzetszám. Ez azonban nem lehetséges, mert

\begin{matrix} 4 a^{1500} + 4 a^{1000} + 4 a^{500} + 4 > 4 a^{1500} + 4 a^{1000} + a^{500} = {(2 a^{750} + a^{250})}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 4 a^{1500} + 4 a^{1000} + 4 a^{500} + 4 < 4 a^{1500} + 4 a^{1000} + 4 a^{750} + a^{500} + 2 a^{250} + 1 = {(2 a^{750} + a^{250} + 1)}^{2}, \end{matrix}

vagyis

4 A B

két szomszédos négyzetszám közé esik.
Az

a > 1

esetben tehát (1) nem lehet négyzetszám. Összesen két megoldás van tehát:

a = - 1

és

a = 0

Több dolgozat alapján

Megjegyzés. Azt, hogy

a^{1000} + 1

és

a^{500} + 1

nem lehet egyszerre egy-egy négyzetszám kétszerese, ha

a > 1

, másképpen is bizonyíthatjuk. Tegyük fel, hogy

a^{1000} + 1 = 2 x^{2}

és

a^{500} + 1 = 2 y^{2}

. Ekkor

\begin{matrix} a^{250} y = \sqrt[]{\frac{a^{1000} + a^{500}}{2}} > \sqrt[]{\frac{a^{1000} + 1}{2}} = x . \end{matrix}

Mivel egész számokról van szó, ebből következik, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{a^{1000} + a^{500}}{2}} \geq \sqrt[]{\frac{a^{1000} + 1}{2}} + 1 > \frac{a^{500}}{\sqrt[]{2}} + 1. \end{matrix}

Négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy

a^{500} < - \frac{2}{2 \sqrt[]{2} - 1} < 0

Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.)