Kezdőlap


Feladat:	B.3360	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2000/november, 485 - 486. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek hasonlósága, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: B.3360

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A E S F$ négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha $E A F ∢ = 180^{\circ} - E S F ∢ = E S B ∢$ . Ez akkor és csak akkor teljesül, ha a $B A F$ és a $B S E$ háromszögek hasonlóak, mert a két háromszögnek a $B$ -nél lévő szöge közös. Emiatt a háromszögek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a $B$ -nél lévő oldalaik aránya megegyezzék, azaz teljesüljön a

\begin{matrix} \frac{B E}{B S} = \frac{B F}{B A} \end{matrix}

(1)

összefüggés.

Jelöljük az

A B C

háromszög oldalait a szokásos módon

a

b

c

-vel, a

B

-ből induló súlyvonal pedig legyen

s

. Ekkor

B E = \frac{c}{2}

és

B S = \frac{2}{3} s

, tehát (1) így írható:

\begin{matrix} \frac{\frac{c}{2}}{\frac{2}{3} s} = \frac{s}{c}, azaz \frac{3}{4} c^{2} = s^{2} . \end{matrix}

Ismert (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye II. kötet, 292. feladat), hogy

\begin{matrix} s^{2} = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) . \end{matrix}

Tehát

A E S F

pontosan akkor húrnégyszög, ha

\begin{matrix} \frac{3}{4} c^{2} = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) . \end{matrix}

Ezt átrendezve

b^{2} + c^{2} = 2 a^{2}

adódik, ami éppen a bizonyítandó állítás.