Feladat:	C.588	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2000/november, 480 - 482. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Inverz függvények, Másodfokú függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: C.588

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A valós számokra kiterjesztett $\tilde{f}:\text{R}\to \text{R}$, $\tilde{f}\left(x\right)=2x^2+8x+7$ másodfokú függvény szigorúan monoton fogyó a $\left(-\infty \mathrm{,}-2\right)$ intervallumon. Ugyanis például teljes négyzetté alakítás után adódik, hogy $\tilde{f}$ a minimumát az $x_0=-2$ helyen veszi föl, így az $f$ függvény értelmezési tartományában minden $x$-hez pontosan egy $f\left(x\right)$, és minden $f\left(x\right)$ függvényértékhez pontosan egy $x$ érték tartozik: az $f$ kölcsönösen egyértelmű, így létezik az $f^{-1}$ inverz (1. ábra). Az inverz kapcsolat meghatározásához az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=2x^2+8x+7}\end{array}$ összefüggésből kell az $x$ értékét az $y$ segítségével kifejezni az $x$-nek a $-2$-nél kisebb értékeire. Kézenfekvő a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazni, eszerint nullára rendezés után $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{1,}2}=-2\pm \sqrt[]{\frac{1+y}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen is látszik, hogy csak $y\ge -1$ esetben létezik olyan $x$, amelyre $\tilde{f}\left(x\right)=y$, az $f$ értékkészlete a $\left(-\mathrm{1,}+\infty \right)$ intervallum, ami $f^{-1}$ értelmezési tartománya. Ilyen $y$ értékek esetén viszont két olyan $x$ van, amelyre $\tilde{f}\left(x\right)=y$, el kell döntenünk, hogy ezek közül melyik van $f^{-1}$ értékkészletében, azaz $f$ értelmezési tartományában, a $\left(-\infty \mathrm{,}-2\right)$ intervallumban. $x_1$ és $x_2$ a $-2$-re szimmetrikusan helyezkednek el (2. ábra). A két szám közül a kisebbik $x_1=-2-\sqrt[]{\frac{1+y}{2}}<-2$. Így az $f$ inverze az $f^{-1}:\left(-1;+\infty \right)\to \text{R}$, $f^{-1}:y\mapsto -2-\sqrt[]{\frac{1+y}{2}}$ függvény.   Megjegyzések. 1. A megoldásban $f^{-1}$ megadásakor kényelmi szempontok miatt az $y$ változót használtuk. Ennek természetesen semmi jelentősége, az utasításban épp így szerepelhetett volna a szokásos $x$, de bármilyen más változó is. 2. Bár nem tartozik a feladathoz, most az inverz függvény értékkészlete is rendelkezésre áll, így $f^{-1}:\left(-1;+\infty \right)\to \left(-\infty ;-2\right)$.   II. megoldás. Annak tisztázása után, hogy az $f$ inverze létezik, grafikusan is megoldható a feladat. Ismeretes, hogy egy ‐ kölcsönösen egyértelmű ‐ $f$ függvény inverzének a grafikonja az $f$ grafikonjának a tükörképe az $y=x$ egyenesre. $f$ és $f^{-1}$ grafikonja látható a 3. ábrán. Az $\tilde{f}$ függvény grafikonjának, a teljes parabolának az egyenlete $y=2x^2+8x+7$. Ismeretes, hogy egy görbének az $y=x$ egyenesre vonatkozó tükörképének az egyenletét a változók $x\leftrightarrow y$ cseréjével kapjuk: $x=2y^2+8y+7$. Az inverz függvény grafikonja e görbének az $y=-2$ egyenes alatti része, ennek egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=-2-\sqrt[]{\frac{1+x}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $f$ függvény inverze tehát $f^{-1}:\left(-1;+\infty \right)\to \text{R}$, $f^{-1}:x\mapsto -2-\sqrt[]{\frac{1+x}{2}}$. A 3. ábra grafikonját, a függvénynek és inverzének képét legegyszerűbben grafikus számológéppel rajzolhatjuk fel. Ha beírjuk az $y=2x^2+8x+7$ függvényt, a TI83 grafikus kijelzőjén az alábbi látható (1. ábra):   1. ábra   2. ábra   3. ábra   Kis trükkel elérhető, hogy az értelmezési tartományt leszűkítsük: beszoroztunk $\frac{\sqrt[]{-x-2}}{\sqrt[]{-x-2}}$-vel: a gyökjel alatt csak $x<-2$ esetén áll pozitív szám, egyébként a függvény nem értelmezett (2‐3. ábra). Ezután csak egy gombnyomás: , és megkaptuk a függvény inverzének a képét is (4. ábra).   4. ábra     III. megoldás. Ismeretes, hogy ha $f_1$ és $f_2$ két kölcsönösen egyértelmű függvény, akkor az $f_1\circ f_2$ összetett függvény is kölcsönösen egyértelmű, és az inverze a komponensek inverzeiből kapható, ha azokat fordított sorrendben fűzzük össze: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(f_1\circ f_2\right)}^{-1}=f_2^{-1}\circ f_2^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Hétköznapibb nyelven ez azt jelenti, hogy egy több lépésből álló műveletsor megfordítását a legutolsó művelet megfordításával kell elkezdenünk. Ez az ún. ,,zokni‐cipő-elv''; az elnevezés remélhetőleg nem szorul magyarázatra. Tekintsük most az alábbi függvényeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1\left(x\right)=x+2;f_2\left(x\right)=-x;f_3\left(x\right)=x^2\mathrm{,}x>0;f_4\left(x\right)=2x-1.}\end{array}$ Mivel az $f$ függvényutasítás teljes négyzet alakja $f\left(x\right)=2{\left[-\left(x+2\right)\right]}^2-1$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\underset{}{\overset{f_1}{\mapsto }}x+2\underset{}{\overset{f_2}{\mapsto }}-\left(x+2\right)\underset{}{\overset{f_3}{\mapsto }}{\left[-\left(x+2\right)\right]}^2\underset{}{\overset{f_4}{\mapsto }}2{\left[-\left(x+2\right)\right]}^2-\mathrm{1,}}\end{array}$ azaz $f=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1$. A komponensekről látható, hogy kölcsönösen egyértelműek, inverzeik rendre $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1^{-1}\left(x\right)=-2+x;f_2^{-1}\left(x\right)=-x;f_3^{-1}\left(x\right)=\sqrt[]{x}\mathrm{,}x>0;f_4^{-1}=\frac{x+1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $f$ inverze így $f^{-1}=f_1^{-1}\circ f_2^{-1}\circ f_3^{-1}\circ f_4^{-1}$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle f^{-1}:x\underset{}{\overset{f_4^{-1}}{\mapsto }}\frac{x+1}{2}\underset{}{\overset{f_3^{-1}}{\mapsto }}\sqrt[]{\frac{x+1}{2}}\underset{}{\overset{f_2^{-1}}{\mapsto }}-\sqrt[]{\frac{x+1}{2}}\underset{}{\overset{f_1^{-1}}{\mapsto }}-2+\left(-\sqrt[]{\frac{x+1}{2}}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $f^{-1}\left(x\right)=-2-\sqrt[]{\frac{x+1}{2}}$. A függvény értelmezési tartománya pedig az $f$ értékkészlete, a $\left(-1;+\infty \right)$ intervallum.   Megjegyzés. A feladatra sok hibás és hiányos megoldás érkezett. Eltekintve a szóhasználat felületességétől ‐ többen a függvényt vélték tükrözni, nem pedig a grafikont ‐ a legkirívóbb hiba az I. megoldás másodfokú egyenletének formális, hibás eredménye, $-2\pm \sqrt[]{\frac{1+x}{2}}$ mint az inverz függvényutasítás. A feladat megoldásainak áttekintése jó alkalom lehet minden olvasónknak a függvényekkel kapcsolatos fogalmak: értelmezési tartomány, értékkészlet, összetett függvény, egyenlet, grafikon, inverz stb. átgondolására.