Kezdőlap


Feladat:	C.574	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/november, 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Alakzatok hasonlósága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: C.574

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A téglatest élei legyenek $a \leq b \leq c$ . Tegyük fel, hogy a téglatestet kettévágtuk két egybevágó, az eredetihez hasonló téglatestre. A részek egybevágósága miatt a metsző sík nyilván merőlegesen felezi a téglatest valamelyik élét.

Tudjuk, hogy hasonló testek térfogatának aránya ‐ esetünkben 2 ‐ egyenlő a hasonlóság arányának köbével. Így a fél téglatestek éleinek hossza:

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[3]{2}} \leq \frac{b}{\sqrt[3]{2}} \leq \frac{c}{\sqrt[3]{c}} . \end{matrix}

Az eredeti téglatest élei közül a leghosszabb nem szerepelhet a fél téglatestek élei között, tehát erre merőleges vágással feleztük el a téglatestet. Az

\frac{a}{\sqrt[3]{2}}

sem szerepelhet az eredeti téglatest élei között, hiszen ez kisebb az eredeti téglatest legkisebb élénél is, tehát csak

\frac{a}{\sqrt[3]{2}} = \frac{c}{2}

lehetséges.
A további élekre

a = \frac{b}{\sqrt[3]{2}}

és

b = \frac{c}{\sqrt[3]{2}}

. Az élekre a következő arányt kaptuk:

\begin{matrix} a : b : c = a : \sqrt[3]{2} a : {(\sqrt[3]{2})}^{2} a = 1 : \sqrt[3]{2} : \sqrt[3]{4} . \end{matrix}

Egy téglatest eszerint pontosan akkor vágható szét két egybevágó, az eredetihez hasonló téglatestre, ha éleinek aránya

1 : \sqrt[3]{2} : \sqrt[3]{4}