Kezdőlap


Feladat:	C.573	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pach Péter Pál
Füzet:	2000/november, 476. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Egész számok összege, Hatványösszeg, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: C.573

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldalon a négyzetszámok összege áll 1-től $n$ -ig, amely felírható a következő zárt alakban:

\begin{matrix} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}

A jobb oldalon viszont az egész számok összege áll 1-től

2 n

-ig, ami

\frac{2 n (2 n + 1)}{2} = n (2 n + 1)

.
Ezek felhasználásával a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = n (2 n + 1), \end{matrix}

ahonnan rendezve és

n (2 n + 1) \neq 0

-val egyszerűsítve:

n + 1 = 6

n = 5

.
Valóban,

\begin{matrix} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10. \end{matrix}

A feladat feltételeinek csak az

n = 5

pozitív egész szám tesz eleget.

Pach Péter Pál (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)