Kezdőlap


Feladat:	C.572	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/november, 475 - 476. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Körök, Négyzetek, Szabályos sokszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: C.572

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kör középpontját $O$ -val, a négyzet oldalának a körrel való metszéspontját $A$ -val és $B$ -vel, a négyzet oldalával párhuzamos hatszögoldal végpontjait pedig $C$ -vel és $D$ -vel. Ha az ${A B}_{}^{⌢}$ körszelet területéből kivonjuk a ${C D}_{}^{⌢}$ körszelet területét, megkapjuk a keresett területet.

A körszelet területe:

T = \frac{1}{2} r^{2} (α_{}^{⌢} - sin α)

, ahol

r

azon kör sugara, amelyből a körszeletet lemetszettük,

α

a középponti szög és

α_{}^{⌢}

ennek mérőszáma radiánban.
A négyzet oldala a középpontból

90^{\circ}

-os szög alatt látszik, ami

\frac{π}{2}

radián, a szabályos hatszög oldala

60^{\circ}

-os szög alatt látszik, ami

\frac{π}{3}

radián.
A két terület különbsége:

\begin{matrix} \frac{1}{2} 6^{2} [(\frac{π}{2} - 1) - (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{2})] \approx 7,01332 {cm}^{2} . \end{matrix}

Megjegyzés. A körben két egybevágó ilyen síkidom van, értelmezhetjük úgy is a feladatot, hogy e két síkidom együttes területét kell kiszámolnunk. A válasz a kérdésre ekkor a megoldásban kapott érték kétszerese, azaz

\approx 14, 03 {cm}^{2}