Kezdőlap


Feladat:	B.3368	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Gergely , Boros M. Mátyás
Füzet:	2000/október, 423 - 424. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Prímtényezős felbontás, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: B.3368

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden $n$ pozitív egészre legyen

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{n} = 2^{32} \cdot n^{72}, y_{n} = 2^{28} \cdot n^{63}, z_{n} = 2^{25} \cdot n^{56} . \\ Ekkor \\ x_{n}^{7} + y_{n}^{8} = 2^{224} \cdot n^{504} + 2^{224} \cdot n^{504} = 2^{225} \cdot n^{504} = z_{n}^{9}, \end{matrix} \end{matrix}

tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív egészek körében.

Bálint Gergely (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzés. Általánosabban megmutatható, hogy ha az

l_{1}

l_{2}

...

l_{n}

pozitív egészek legkisebb közös többszöröse relatív prím a

k

természetes számhoz, akkor az

x_{1}^{l_{1}} + ... + x_{n}^{l_{n}} = z^{k}

egyenletnek is végtelen sok megoldása van a pozitív egészek halmazán. Ez (akárcsak a közölt megoldás számpéldája) elsősorban azon múlik, hogy ha az

a

és

b

egészek legnagyobb közös osztója

d

, akkor alkalmas

x

és

y

egészekkel

x a + y b = d

teljesül.

Boros M. Mátyás (Budapest, Veres Péter Gimn., 11. o.t.)