Kezdőlap


Feladat:	B.3357	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes Attila
Füzet:	2000/október, 419 - 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: B.3357

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat kérdésére a válasz nemleges. Először megmutatjuk, hogy egy négyzetszám (pozitív) osztóinak a száma mindig páratlan. Ehhez az osztókat párba állítjuk: ha $d ∣ t^{2}$ , akkor $d$ osztópárja legyen $e = \frac{t^{2}}{d}$ ; nyilván $e$ párja a $d$ . Az egy párba tartozó két osztó akkor és csak akkor egyenlő, ha $e = d$ , azaz $t^{2} = d^{2}$ , vagyis $d = t$ . Tehát az osztók párba állításánál egyetlen osztónak, a szám négyzetgyökének nem jut (tőle különböző) pár, így az osztók száma valóban páratlan.
Legyen ezután $t = 3^{ℓ} \cdot m$ , ahol $m$ nem osztható 3-mal; ekkor $t^{2}$ -nek a $(3 k + 1)$ alakú és a $(3 k + 2)$ alakú osztói együttesen éppen az $m^{2}$ osztóit adják. Ezek száma páratlan lévén, a $(3 k + 1)$ és a $(3 k + 2)$ alakú osztók száma szükségképpen különböző.

Megjegyzések. 1. Két

(3 k + 1)

alakú és két

(3 k + 2)

alakú szám szorzata is

(3 k + 1)

alakú, míg egy

(3 k + 1)

és egy

(3 k + 2)

alakú számot összeszorozva

(3 k + 2)

alakú számhoz jutunk. Így (a közölt megoldás jelöléseit használva) ha

m

prímtényezős felbontása

m = p_{1}^{a_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{a_{r}}

, akkor

m^{2} = p_{1}^{2 a_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{2 a_{r}}

osztói azok a

d = p_{1}^{b_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{b_{r}}

alakú számok, amelyekre

0 \leq b_{i} \leq 2 a_{i}

teljesül minden

i = 1

, 2,

...

r

-re; a

d

pontosan akkor

(3 k + 1)

alakú, ha a

(3 k + 2)

alakú

p_{j}

prímek

b_{j}

kitevőinek összege páros.
Legyen

f

m^{2}

-nek tetszőleges

(3 k + 2)

alakú osztója, és jelölje

p_{j}

azt a

(3 k + 2)

alakú prímet, amelyre

b_{j}

páratlan és

j

minimális. Ekkor (

b_{j} < 2 a_{j}

miatt)

p_{j} f ∣ m^{2}

, és

p_{j} f

nyilván

(3 k + 1)

alakú. Ezzel minden

(3 k + 2)

alakú osztóhoz hozzárendeltünk egy

(3 k + 1)

alakú osztót, mégpedig különböző osztókhoz különbözőket. Az is világos, hogy

m^{2}

-nek létezik olyan

(3 k + 1)

alakú osztója, amely nem áll elő ezen a módon, pl. az 1 ilyen. Ezzel azt is megmutattuk, hogy

(3 k + 1)

alakú osztó több van, mint

(3 k + 2)

alakú.
2. A szóbanforgó osztók számának különbségét ki is számolhatjuk az

m^{2}

prímtényezős felbontásából: jelölje (az egyszerűség kedvéért)

p_{1}

p_{2}

...

p_{c}

m^{2}

összes

(3 k + 2)

alakú prímosztóját. Tetszőleges

n

természetes számra jelölje rendre

S_{1} (n)

és

S_{2} (n)

n

(3 k + 1)

, illetve

(3 k + 2)

alakú osztóinak a számát, legyen továbbá

S (n) = S_{1} (n) - S_{2} (n)

. Ha

m^{2} = a^{2} b^{2}

, ahol

a^{2} = \prod_{j = 1}^{c} p_{i}^{2 a_{i}}

b^{2} = \prod_{j = c + 1}^{r} p_{j}^{2 a_{j}}

, akkor

S_{i} (m^{2}) = S_{i} (a^{2}) D (b^{2})

, ahol

D

a megfelelő szám összes osztóinak számát jelöli. Legyen

a^{2} = x^{2} y^{2}

(x, y) = 1

, ekkor

S (a^{2}) = S_{1} (a^{2}) - S_{2} (a^{2}) = (S_{1} (x^{2}) S_{1} (y^{2})) + S_{2} (x^{2}) S_{2} (y^{2})) - (S_{1} (x^{2}) S_{2} (y^{2}) + S_{2} (x^{2}) S_{1} (y^{2})) = S (x^{2}) S (y^{2})

.
Ennek ismételt alkalmazásaival kapjuk, hogy

\begin{matrix} S (a^{2}) = \prod_{j = 1}^{c} S (p_{i}^{2 a_{i}}) . \end{matrix}

Végül, mivel

p_{j}^{2 a_{j}}

(3 k + 1)

alakú osztói 1,

p_{j}^{2}

...

p_{j}^{2 a_{j}}

, azért

S (p_{j}^{2 a_{j}}) = (a_{j} + 1) - a_{j} = 1

, tehát

S (a^{2}) = 1

, így

\begin{matrix} S (m^{2}) = S_{1} (m^{2}) - S_{2} (m^{2}) = S (a^{2}) D (b^{2}) = D (b^{2}) = \prod_{j = c + 1}^{r} (2 a_{j} + 1) > 0. \end{matrix}

Dénes Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 12. o.t.)