Feladat: B.3348 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Siroki László ,  Venter György 
Füzet: 2000/október, 417 - 418. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Esetvizsgálat, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/február: B.3348

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván b nem lehet 0 és -1; beszorozva b(b+1)-gyel

(a+1)(b+1)=cab.(1)
Ha a=0, akkor (1)-ből b=-1 következok, ezt pedig kizártuk; így a≠0. Ha a=-1, akkor 0=cab=-cb miatt c=0, azaz a=-1, c=0 tetszőleges (0-tól és -1-től különböző) b-vel megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy (b-hez hasonlóan) a∉{-1;0}.
Az (1) jobb oldala osztható a-val, így a∣(a+1)(b+1). Mivel a és a+1 relatív prímek, azért a∣b+1 és hasonlóan b∣a+1.
 
I. Ha a, b>-1, akkor a és b pozitív, így az iménti oszthatóságokból a≤b+1 és b≤a+1 következik. Ekkor a≤b+1≤a+2, ezért b csak a-1, a vagy a+1 lehet.
Ha b=a-1, akkor b∣a+1 miatt a+1a-1≥2, azaz a≤3; ebben az esetben a következő megoldásokat kapjuk: a=2, b=1, c=3 és a=3, b=2, c=2. Ha b=a, akkor hasonlóan a+1a≥2 miatt a≤1, ebből az a=b=1, c=4 megoldást kapjuk. Ha pedig b=a+1, akkor a b=a-1 esetben kapott megoldásokhoz jutunk a és b szerepét felcserélve: a=1, b=2, c=3 és a=2, b=3, c=2.
 
II. Ha a<-1 és b>-1, akkor b>0, így a∣b+1 szerint -a≤b+1 és b∣a+1 miatt b≤-a-1; ezért -a≤b+1≤-a-1+1=-a, azaz b=-a-1. Az egyenletbe visszahelyettesítve ekkor az
a=t,b=-t-1,c=1(t<-1)
megoldásokat kapjuk. Hasonlóan, az a>-1>b esetben az
a=t,b=-t-1,c=1(t>0)
megoldásokhoz jutunk.
Megmutatjuk, hogy az eddigieken kívül nincs több megoldás. A még hátralévő a,b<-1 esetben ugyanis a∣b+1 miatt a≥b+1, és b∣a+1 miatt b≥a+1, tehát a≥b+1≥a+2, ami lehetetlen.
 Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 10. o.t.)
 
 Venter György (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)