Feladat:	B.3344	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali ,  Jelitai Kálmán
Füzet:	2000/október, 416. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: B.3344

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tekintsünk egy páratlan prímszámot. Legyen ez a $2k+1$. Ekkor ${\left(2k+1\right)}^k$ a feltételnek megfelelő szám. Ennek ugyanis $k+1$ darab osztója van: 1, $2k+1$, ${\left(2k+1\right)}^2$, $\text{...}$, ${\left(2k+1\right)}^k$. Prímtényezős felbontása ${\left(2k+1\right)}^k$, és ha az alapból kivonjuk a kitevőt, éppen $\left(k+1\right)$-et, az osztók számát kapjuk. Ez bármelyik $\left(2k+1\right)$ alakú prímszám $k$-adik hatványára igaz. Mivel végtelen sok prímszám van (ezt könnyen igazolhatjuk indirekt módon), és közülük csak egy páros, így végtelen sok páratlan prím is van. Ezért végtelen sok, a feladat feltételének eleget tevő természetes szám van.  Jelitai Kálmán (Budapest, Szent István Gimn., 9. o.t.)   II. megoldás. Mutatunk egy módszert, amellyel végtelen sok, a feladat feltételének eleget tevő számot készíthetünk. Válasszunk olyan $p_1$ és $p_2$ prímszámokat, amelyek 3-mal osztva 1, illetve 2 maradékot adnak, azaz $p_1\equiv 3\left(\text{mod}3\right)$ és $p_2\equiv -1\left(\text{mod}3\right)$ teljesül. Ismeretes, hogy végtelen sok ilyen $p_1$ és $p_2$ prímszám létezik. Következik ez például Dirichlet tételéből, hiszen ez annak csak speciális esete (Erdős Pál‐Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből, Polygon, Szeged, 1996., 67. o.). Tekintsük ezután a $k=\frac{p_1{p}_2-2}{3}$ számot, ez nyilván egész. Megmutatjuk, hogy a $p_1\cdot p_2^k$ szám eleget tesz a feladat feltételének. Ezek osztói: 1, $p_2$, $p_2^2$, $\text{...}$, $p_2^k$, $p_1$, $p_1{p}_2$, $\text{...}$, $p_1{p}_2^k$; ezek száma $2\left(k+1\right)$, vagyis $2\left(\frac{p_1{p}_2-2}{3}+1\right)$, ami pedig valóban egyenlő $p_1{p}_2-\frac{p_1{p}_2-2}{3}$-mal. A feladat állítását ezzel beláttuk.  Baharev Ali (Vác, Boronkay Gy. Gimn., 12. o.t.)