Kezdőlap


Feladat:	C.567	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koch Dénes
Füzet:	2000/október, 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Prímtényezős felbontás, Téglatest, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: C.567

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A téglatest élei: $a$ , $b$ és $c$ , azaz a feltétel szerint

\begin{matrix} a b c + a b + b c + c a + a + b + c = 2000. \end{matrix}

(1)

A bal oldalon álló kifejezés nem más, mint

(a + 1) (b + 1) (c + 1) - 1

. (Ezt könnyen ellenőrizhetjük, ha elvégezzük a szorzásokat. Az összefüggést érdemes megjegyezni, mert máskor is felhasználhatjuk.)
Az (1) egyenlőség átalakítás után:

\begin{matrix} (a + 1) (b + 1) (c + 1) = 2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29. \end{matrix}

Mivel 3, 23 és 29 prímszám és a bal oldalon három, 1-nél nagyobb egész szorzata áll, a szorzat tényezői a jobb oldal tényezői lehetnek. (A sorrend csak attól függ, melyik élt jelöltük

a

-val,

b

-vel,

c

-vel.)
Legyen pl.

a + 1 = 29

b + 1 = 23

c + 1 = 3

, ahonnan

a = 28

b = 22

c = 2

.
A téglatest élei tehát 28, 22 és 2 egység hosszúak.

Koch Dénes (Linz, Akad. Gymn., 11. o.t.)