A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bebizonyítjuk, hogy az oldalak legfeljebb 18 pontban metszhetik egymást. Ennyi metszéspont lehetséges, például az 1. ábrán látható módon. Annak bizonyításához, hogy 18-nál több metszéspont nem jöhet létre, három segédtételt használunk fel.
Egy konvex sokszöget egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszhet.
Bizonyítás. A két legtávolabbi metszéspontot összekötő szakasz a belsejével kiegészített sokszög része, ezért ez a szakasz nem metszheti a sokszög határát.
Egy ötszöget egy egyenes, amelyik egyik csúcsára sem illeszkedik, legfeljebb 4 pontban metszhet. Bizonyítás. Az egyenes mindegyik oldalt legfeljebb egy pontban metszi, tehát 5-nél több metszéspont biztosan nem lehetséges. A metszéspontok az egyenest két félegyenesre és néhány szakaszra osztják. Ezek a darabok felváltva az ötszögön kívül és belül helyezkednek el; a két félegyenes biztosan kívül. Ebből következik, hogy a szakaszok száma páratlan, és a metszéspontok száma páros. A metszéspontok száma tehát 5 sem lehet.
Két sokszög, amelyek csúcsai nem illeszkednek a másik sokszög oldalegyeneseire, csak páros sok pontban metszheti egymást.
Bizonyítás. Az egyik sokszög kerületén körbehaladva, mindegyik metszéspontnál a sokszög belsejéből a külsejébe, vagy a külsejéből a belsejébe lépünk át. A teljes körbehaladás után ugyanabba a síkrészbe érünk vissza, tehát összesen ugyanannyiszor lépünk belülről kívülre, mint kívülről belülre. Ezek után bebizonyítjuk, hogy két ötszög legfeljebb 18 pontban metszi egymást. Legyen a két ötszög és . mindegyik oldalegyenese legfeljebb 4 pontban metszi -t a 2. segédtétel szerint; ez összesen legfeljebb 20 metszéspont. 19 metszéspont a 3. segédtétel szerint nem lehetséges. Már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy a metszéspontok száma 20 sem lehet. Ha a metszéspontok száma 20, akkor mindegyik oldala -nek 4 oldalát metszi, és megfordítva, mindegyik oldala -nak 4 oldalát metszi. Ebből az 1. segédtétel alapján az is következik, hogy és konkáv. Mivel konkáv, van konvex és konkáv szöge is, és van három szomszédos oldala: , és úgy, hogy és konvex, és konkáv szögben csatlakozik egymáshoz (2. ábra). Legyen -nek az az oldala, amit nem metsz, . Ez az oldal metszi -nak 4 oldalát, tehát metszi -t és -t is; hasonlóképpen is metszi -nek a többi 4 oldalát. Mivel és a egyenes ellentétes oldalain vannak, a szakasz metszi a egyenest. Így azonban a egyenes a ötszög valamennyi oldalát metszi, ez pedig ellentmond a 2. segédtételnek. A metszéspontok száma tehát tényleg nem lehet 20. A két ötszög tehát legfeljebb 18 pontban metszi egymást.
Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.) |
|
|