Feladat: A.229 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Máthé András ,  Varjú Péter ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 2000/szeptember, 353 - 354. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb sokszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/január: A.229

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bebizonyítjuk, hogy az oldalak legfeljebb 18 pontban metszhetik egymást. Ennyi metszéspont lehetséges, például az 1. ábrán látható módon.
Annak bizonyításához, hogy 18-nál több metszéspont nem jöhet létre, három segédtételt használunk fel.

 
1. segédtétel.̲ Egy konvex sokszöget egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszhet.
 
Bizonyítás. A két legtávolabbi metszéspontot összekötő szakasz a belsejével kiegészített sokszög része, ezért ez a szakasz nem metszheti a sokszög határát.
 
2. segédtétel.̲ Egy ötszöget egy egyenes, amelyik egyik csúcsára sem illeszkedik, legfeljebb 4 pontban metszhet.
Bizonyítás. Az egyenes mindegyik oldalt legfeljebb egy pontban metszi, tehát 5-nél több metszéspont biztosan nem lehetséges. A metszéspontok az egyenest két félegyenesre és néhány szakaszra osztják. Ezek a darabok felváltva az ötszögön kívül és belül helyezkednek el; a két félegyenes biztosan kívül. Ebből következik, hogy a szakaszok száma páratlan, és a metszéspontok száma páros. A metszéspontok száma tehát 5 sem lehet.
 
3. segédtétel.̲ Két sokszög, amelyek csúcsai nem illeszkednek a másik sokszög oldalegyeneseire, csak páros sok pontban metszheti egymást.
 
Bizonyítás. Az egyik sokszög kerületén körbehaladva, mindegyik metszéspontnál a sokszög belsejéből a külsejébe, vagy a külsejéből a belsejébe lépünk át. A teljes körbehaladás után ugyanabba a síkrészbe érünk vissza, tehát összesen ugyanannyiszor lépünk belülről kívülre, mint kívülről belülre.
Ezek után bebizonyítjuk, hogy két ötszög legfeljebb 18 pontban metszi egymást. Legyen a két ötszög A és B. A mindegyik oldalegyenese legfeljebb 4 pontban metszi B-t a 2. segédtétel szerint; ez összesen legfeljebb 20 metszéspont. 19 metszéspont a 3. segédtétel szerint nem lehetséges. Már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy a metszéspontok száma 20 sem lehet.
Ha a metszéspontok száma 20, akkor A mindegyik oldala B-nek 4 oldalát metszi, és megfordítva, B mindegyik oldala A-nak 4 oldalát metszi. Ebből az 1. segédtétel alapján az is következik, hogy A és B konkáv.
Mivel A konkáv, van konvex és konkáv szöge is, és van három szomszédos oldala: a, b és c úgy, hogy a és b konvex, b és c konkáv szögben csatlakozik egymáshoz (2. ábra).
Legyen B-nek az az oldala, amit b nem metsz, d. Ez az oldal metszi A-nak 4 oldalát, tehát metszi a-t és c-t is; hasonlóképpen b is metszi B-nek a többi 4 oldalát. Mivel a és c a b egyenes ellentétes oldalain vannak, a d szakasz metszi a b egyenest. Így azonban a b egyenes a B ötszög valamennyi oldalát metszi, ez pedig ellentmond a 2. segédtételnek. A metszéspontok száma tehát tényleg nem lehet 20.
A két ötszög tehát legfeljebb 18 pontban metszi egymást.
 Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.)