Feladat:	A.228	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csóka Endre ,  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Kiss Gergely ,  Koch Dénes ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Máthé András ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Papp Dávid ,  Tóth Ferenc ,  Varjú Péter ,  Zábrádi Gergely
Füzet:	2000/szeptember, 352 - 353. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvények ábrázolása, Függvénytranszformációk, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: A.228

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A válasz: nem. Megadunk olyan, a feltételeknek megfelelő $f$ és $g$ függvényeket, amelyekre $f+g$ nem veszi fel a $0$-t. Legyen $f\left(x\right)=x$. Ez nyilván szigorúan monoton nő, és értékkészlete a teljes $\text{Q}$. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x-\mathrm{3,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>;}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle -\frac{2}{x}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>2</mn></math>;}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle x-\mathrm{3,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></math>.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A $g$ függvény a $\left(-\infty \mathrm{,1}\right]$, $\left(\mathrm{1,2}\right)$ és $\left[\mathrm{2,}\infty \right)$ intervallumokban külön-külön szigorúan monoton nő, e három intervallumra megszorítva értékkészlete a $\left(-\infty \mathrm{,}-2\right]$, $\left(-\mathrm{2,}-1\right)$, illetve $\left[-\mathrm{1,}\infty \right)$ intervallumok racionális elemeiből áll. Ezért igaz, hogy $g$ szigorúan monoton nő, és értékkészlete a teljes $\text{Q}$. Tegyük fel, hogy létezik olyan $x\in \text{Q}$, amelyre $f\left(x\right)+g\left(x\right)=0$. Ha $x\le 1$ vagy $x\ge 2$, akkor $f\left(x\right)+g\left(x\right)=2x-3$, ami csak $x=\frac{3}{2}$ esetén lenne $0$, de ez a szám nem szerepel a megadott intervallumokban. Ha $1<x<2$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)+g\left(x\right)=x-\frac{2}{x}=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle x^2=2.}\end{array}}}\end{array}$ Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen $x$ racionális szám nincs. Tehát $f+g$ nem veszi fel a $0$-t.  Máthé András (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 12. o.t.)   II. megoldás. Legyen ismét $f\left(x\right)=x$. Konstruálunk egy olyan $g$ függvényt, amely szigorúan monoton nő, értékkészlete a teljes $\text{Q}$, és $f+g$ nem veszi fel a $0$-t. Legyen $\left(a_n\right)$ egy racionális számokból álló, szigorúan növekvő sorozat, amely $\sqrt[]{2}$-höz tart; $\left(b_n\right)$ pedig legyen egy ugyancsak racionális számokból álló és $\sqrt[]{2}$-höz tartó, de szigorúan monoton csökkenő sorozat. Ilyen sorozatot készíthetünk pl. a $\sqrt[]{2}=\mathrm{1,414213}\text{...}$ tizedesjegyeiből, pl. $a_1=1$; $a_2=1\mathrm{,}4$; $a_3=1\mathrm{,}41$; $a_4=\mathrm{1,414}$; $\text{...}$, illetve $b_1=2$; $b_2=\mathrm{1,5}$; $b_3=\mathrm{1,42}$; $b_4=\mathrm{1,415}$; $\text{...}$. Tetszőleges pozitív egész $n$ esetén legyen $g\left(a_n\right)=-b_n$ és $g\left(b_n\right)=-a_n$. Az $\left[a_n\mathrm{,}{a}_{n+1}\right]$ és $\left[b_{n+1}\mathrm{,}{b}_n\right]$ intervallumokban legyen $g$ lineáris. $x<a_1$ és $x>b_1$ esetén legyen $g\left(x\right)=x-a_1-b_1$. Ez a függvény a $\left(-\infty \mathrm{,}\sqrt[]{2}\right)$, illetve $\left(\sqrt[]{2}\mathrm{,}\infty \right)$ intervallumokon egymáshoz kapcsolódó lineáris szakaszokból áll, a két fél grafikon a $\left(\sqrt[]{2}\mathrm{,}-\sqrt[]{2}\right)$ ponthoz torlódik. A függvény értékkészlete a $\left[-a_{n+1}\mathrm{,}-a_n\right]$ és $\left[-b_n\mathrm{,}-b_{n+1}\right]$ ($n=\mathrm{1,2,}\text{...}$) valamint a $\left(-\infty \mathrm{,}-b_1\right]$ és $\left[-a_1\mathrm{,}\infty \right)$ intervallumok racionális elemeiből áll. Az intervallumok uniója a $-\sqrt[]{2}$ kivételével az összes valós számot, és ezáltal az összes racionális számot tartalmazza. A $g$ függvény értékkészlete tehát a teljes $\text{Q}$. Ha $x<\sqrt[]{2}$, akkor $g\left(x\right)<-\sqrt[]{2}$ és $f\left(x\right)+g\left(x\right)<\sqrt[]{2}-\sqrt[]{2}=0$. Ha pedig $x>\sqrt[]{2}$, akkor $g\left(x\right)>-\sqrt[]{2}$ és $f\left(x\right)+g\left(x\right)>\sqrt[]{2}-\sqrt[]{2}=0$. Ezért az $f+g$ függvény valóban nem veszi fel a $0$-t.  Zábrádi Gergely (Győr, Révai M. Gimn. 12. o.) dolgozata alapján