A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Írjuk le a labda mozgását az ,,álló'' (a lemezjátszó dobozához rögzített) koordináta-rendszerből nézve. Jelöljük a labda tömegközéppontjának sebességét -vel, gyorsulását -val, a labda forgási szögsebességét -val, szöggyorsulását -val, a síklap által kifejtett súrlódási erőt pedig -sel. Ezek a mennyiségek vízszintes irányú vektorok. (A labda függőleges tengely körül is foroghat, ha kezdetben volt ilyen irányú szögsebessége, de ez a mozgás független a többitől, ezért a továbbiakban nem foglalkozunk vele.) Érdemes bevezetni még két további jelölést: labda középpontjából a legalsó pontjába lefelé mutató vektort, valamint a korong szögsebesség-vektorát. (Mindkét vektor függőleges irányú és időben állandó.) Ezekkel a vektormennyiségekkel tömör alakban felírhatjuk az tömegű, tehetetlenségi nyomatékú labda mozgásegyenleteit. A dinamika alaptörvénye szerint a forgómozgás alaptörvénye szerint pedig A labda tisztán gördül a síklapon, legalsó pontjának sebessége tehát ugyanakkora, mint az érintkezésnél a síklap megfelelő (a lemezjátszó tengelyétől kiinduló vektorral jellemzett) pontjának sebessége. Mivel a labda legalsó pontjának sebessége a tömegközéppont sebességének és a forgásból származó kerületi sebességnek összege, a síklap megfelelő pontjának sebessége pedig , a csúszásmentes gördülés feltétele: Képezzük a (3) egyenletben szereplő mennyiségek változási sebességét! Mivel és időben állandó vektorok, változási sebessége pedig éppen a labda sebességvektora, írhatjuk, hogy Fejezzük ki (1)-ből az vektort és helyettesítsük be (2)-be, majd onnan fejezzük ki -t és írjuk be (4)-be: | | (5) | A szögletes zárójelben álló vektor és merőlegessége miatt (ahol a labda sugara), továbbá felhasználásával (5) ilyen alakra hozható: | | (6) | Ez az egyenlet azt mutatja, hogy a labda sebességvektora szögsebességgel egyenletesen forog körbe, a labda tömegközéppontja tehát ilyen szögsebességű egyenletes körmozgást végez. A körpálya középpontja általában nem esik egybe a lemezjátszó tányérjának közepével, hanem a kezdőfeltételektől (az indítás helyétől és a kezdősebességtől) függően máshol is lehet.
Megjegyzések: 1. Vigyázat: a merev testek térbeli forgómozgásának egyenlete általában nem olyan ,,egyszerű'', mint ahogy az a (2) egyenletben szerepel, hanem csak a perdület vektorának változási sebességével fogalmazható meg. Jelen esetben (a labda gömbszimmetriája miatt) a perdület alakú, s ennek változási sebessége (mivel nem csak a testhez rögzített rendszerből, de az inerciarendszerből nézve is állandó) . 2. A labda tömegközépponti szögsebességének és a lemezjátszó szögsebességének aránya a jelen esetben (tömör, homogén lábdánál) , általában pedig Vékonyfalú labdánál (teniszlabda, pingponglabda) például ilyenkor a legnagyobb a két szögsebesség aránya, nevezetesen .
|