Feladat:	B.3293	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Veronika ,  Vígh Viktor
Füzet:	2000/április, 216 - 217. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: B.3293

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Alakítsuk át az egyenlőséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(33+1\right)a}& {\displaystyle =\left(44-1\right)b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 33a+a}& {\displaystyle =44b-b\mathrm{,}}\hfill \\ \multicolumn{3}{c}{\text{<br>ahonnan}}\\ \hfill {\displaystyle a+b}& {\displaystyle =11\left(4b-3a\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az $a$ és $b$ pozitív egész számok, tehát $a+b$ is az. A fentiek szerint $a+b$ osztható 11-gyel, így csak akkor lehet prím, ha $4b-3a=1$. De ekkor $b=\frac{3a+1}{4}$-et az eredeti egyenlőségbe helyettesítve $34a=43\cdot \frac{3a+1}{4}$-ből $a=\frac{43}{7}$ következik, ami nem egész szám; így $a+b$ valóban összetett szám.  Kovács Veronika (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 11. o.t.)   Megjegyzések. 1. Hasonló gondolatmenettel így is átalakítható az eredeti egyenlőség: $a+b=7\left(5a-6b\right)$. Itt is belátható, hogy $5a-6b=1$ nem lehetséges, de ha mindkét módon felírjuk $\left(a+b\right)$-t, akkor az is látható, hogy 11-gyel és 7-tel is osztható, tehát legalább két prímosztója van, így összetett.  Vígh Viktor (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 2. Kissé más átalakítással bizonyítottak többen is: $\begin{array}{c}{\displaystyle 34\left(a+b\right)=34a+34b=43b+34b=77b\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $34\left(a+b\right)$ osztható 77-tel, de 34 és 77 relatív prímek, így $a+b$ osztható 77-tel, tehát összetett szám.   II. megoldás. A 34 és a 43 relatív prímek, azaz legnagyobb közös osztójuk 1. Ezért, ha $34a$ felírható $43b$ alakban, akkor $43\mid 34a$, így $43\mid a$, azaz $a=43d$ egy alkalmas $d$ pozitív egész számmal. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{34a}{43}=\frac{34\cdot 43d}{43}=34d\mathrm{,}}\end{array}$ így $a+b=43d+34d=77d$, tehát $a+b$ 7-tel is, 11-gyel is osztható, így összetett szám.   Megjegyzés. Nagy különbség van aközött, hogy két szám prím, vagy két szám relatív prím: ez utóbbi esetben ugyanis lehet mindkettő összetett szám is: csak az kell, hogy ne legyen 1-nél nagyobb közös osztójuk. Sajnos több beküldőnk indult ki a következő hamis állításból, s emiatt pontokat veszített: ,,43 és 34 prímek$\text{...}$''