|
Feladat: |
Gy.3275 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Bálint Gergely , Balka Richárd , Deli Lajos , Fischer Noémi , Horváth Balázs , Horváth Szilárd , Nagy Zoltán , Rácz Judit , Zalán Péter |
Füzet: |
2000/április,
215. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Paralelogrammák, Síkgeometriai bizonyítások, Négyszögek geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/április: Gy.3275 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feltételből következik, hogy négyszög konvex. Használjuk az 1. ábra jelöléseit! | | Ebből látható, hogy . Az átlók felezik a területet, azaz , és . E két egyenlőség összeadásából , ezért . A területek szorzatára kapott egyenlőségek szerint így , tehát . Innen pedig azonnal adódik, hogy mind a négy terület egyenlő.
Fischer Noémi (Budapest, Árpád Gimn., 9. o.t.) |
II. megoldás. Belátjuk, hogy a feltétel teljesülésekor a négyszög paralelogramma. Tegyük fel, hogy nem az, vagyis valamelyik átló nem felezi a másikat, például a átló felezőpontja nem esik -re, hanem pl. az háromszög belsejében van (2. ábra). Az súlyvonal felezi területét, pedig -ét. Ebből adódik, hogy a négyszög területének a fele, ami egyenlő -vel. A két felírt terület különbségeként azt kapjuk, hogy , ami azt jelenti, hogy az átlók felezik egymást. Az négyszög tehát paralelogramma, amelyben az átlók által létrehozott négy háromszög területe nyilván egyenlő.
|
|