Feladat:	Gy.3267	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andrássy Zoltán ,  Babos Attila ,  Bálint Gergely ,  Balogh Zoltán ,  Béky Bence ,  Boros Vazul ,  Fodor Gyula ,  Hauser Edit ,  Horváth Szilárd ,  Kovács Erika Renáta ,  Kucsera Dénes ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Nagy Tamás ,  Siska Ádám ,  Sparing Dániel ,  Szente Dávid ,  Szűcs Zsófia ,  Tran Thanh Long ,  Zalán Péter ,  Zséger Ádám
Füzet:	2000/április, 214. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Középponti és kerületi szögek, Hatványvonal, hatványpont, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: Gy.3267

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $F$ pontnak a $k_1$ körre vonatkozó hatványa: $\begin{array}{c}{\displaystyle FC\cdot FP=FA\cdot FQ\mathrm{,}}\end{array}$ a $k_2$ körre vonatkozó hatványa pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle FD\cdot FP=FB\cdot FQ\mathrm{.}}\end{array}$ A felírt egyenlőségek jobb oldalai $FA=FB$ miatt egyenlőek, így $\begin{array}{c}{\displaystyle FC\cdot FP=FD\cdot FP\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $FP\ne 0$, akkor innen valóban $FC=FD$ következik. A $C$ és $D$ pontok nem eshetnek egybe, ugyanis az egyik a $k_1$-en van, a másik a $k_2$-n. $F$ tehát felezi $CD$-t. Ha $FP=0$, $F=P$, akkor az $AB\left(=FQ\right)$ egyenes egybeesik a $PQ$ egyenessel, tehát az $A$ és $B$ pont a $P$, illetve a $Q$ pontok valamelyike. $AB$-t ezért csak úgy felezhetné $P$, ha $A=B=P$ volna, ekkor viszont nem teljesül a feladatnak az a feltétele, hogy $AB$ tartalmazza $Q$-t.   II. megoldás. Alkalmazzuk a kerületi szögek tételét: $\begin{array}{c}{\displaystyle CAQ\sphericalangle =CPQ\sphericalangle =DPQ\sphericalangle =DBQ\sphericalangle \mathrm{,}}\end{array}$ így az $AFC$ és $BFD$ háromszögeknek a feltétel szerint egyenlő $AF$ és $BF$ oldalán fekvő megfelelő szögek is egyenlők. A két háromszög tehát egybevágó, így $FC=FD$.   Megjegyzés. A második megoldás hasonló diszkussziójánál azt kell megvizsgálni, hogy a felhasznált szögek, szakaszok és háromszögek nem fajulnak-e el. Ez elkerülhető: tekintsük úgy a feladatot, hogy az $AB$ egyenes forog $Q$ körül. Csak véges sok helyzetben fajul el az ábra, a szakaszok hossza pedig folytonosan változik, így az állítás az elfajuló esetekben is igaz.