Először belátjuk, hogy ha a körök metszik egymást, akkor a négyszög húrnégyszög. A konvex négyszög átlói metszik egymást, ezért az $AC$ és $BD$ átlók felező merőlegesei is: legyen ezek közös pontja $O$. Jelölje a feladatban szereplő $AC$ átmérőjű kört $k_1$, a $BD$ átmérőjű kört pedig $k_2$.
Ha az $O$ pontot összekötjük a $k_1$, illetve a $k_2$ körök pontjaival, egy-egy forgáskúpot kapunk. Az $O$-t a $k_1$ és $k_2$ metszéspontjaival összekötő szakaszok mindkét forgáskúpnak alkotói, tehát a két forgáskúp alkotói egyenlő hosszúságúak. (Ha $O$ egybeesik valamelyik átló felezőpontjával, akkor az egyik (esetleg mindkét) fogáskúp alkotója helyett a $k_1$, illetve a $k_2$ kör sugara értendő.) A $k_1$ és $k_2$ körök pontjai tehát egyenlő távolságra vannak $O$-tól, így van olyan $O$ középpontú gömb, amelyen $k_1$ és $k_2$ összes pontja, tehát $A$, $B$, $C$, $D$ is rajta van.
$A$, $B$, $C$, $D$ e gömb különböző, egy síkban levő pontjai, és mivel a gömb minden síkmetszete kör, azért van olyan kör, amelyen mind a négy pont rajta van. Így az $ABCD$ négyszög valóban húrnégyszög.
Most bebizonyítjuk, hogy ha az $ABCD$ négyszög húrnégyszög, akkor a $k_1$ és $k_2$ körök metszik egymást. Használjuk az eddigi jelöléseket, és legyen $\text{S}$ az $ABCD$ húrnégyszög síkja. Az $O$ középpontú, $OA$ sugarú gömb metszete $\text{S}$-sel (a gömb főköre) adja a húrnégyszög körülírt körét. Ezt a gömböt az $AC$ és a $BD$ átlókat tartalmazó, $\text{S}$-re merőleges síkok egy-egy körben metszik: mivel átmérőjük $AC$, illetve $BD$, ezek a körök éppen $k_1$ és $k_2$.
Ekkor az $AD$ és $BD$ átlók metszéspontjában az $\text{S}$ síkra állított merőleges egyenes két pontban metszi a gömböt: ezek a pontok
egyúttal $k_1$ és $k_2$ pontjai is, tehát az $AC$ és $BD$ átmérőjű, $\text{S}$-re merőleges körök valóban metszik egymást.