Kezdőlap


Feladat:	B.3300	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ivaskó György
Füzet:	2000/március, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: B.3300

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel ‐ a bizonyítandó állítással szemben ‐, hogy minden kék színű csúcsból legalább 6, és minden piros színűből legalább 4 él indul ki. A konvex poliéder éleinek számát jelölje $e$ , a lapok számát $l$ , a piros és kék csúcsok számát pedig rendre $c_{p}$ és $c_{k}$ . Az Euler-féle poliéder-tétel szerint

\begin{matrix} c_{p} + c_{k} + l = e + 2. \end{matrix}

(1)

Az egyes csúcsokból kiinduló élek számát összegezve az összes élek számának kétszeresét kapjuk, hiszen minden él két csúcsot köt össze. Indirekt feltevésünk értelmében a csúcsokból kiinduló élek számának összege legalább

4 c_{p} + 6 c_{k}

, ezért

\begin{matrix} e \geq \frac{1}{2} (4 c_{p} + 6 c_{k}) = 2 c_{p} + 3 c_{k} . \end{matrix}

(2)

Minden él két lapot határol, így a lapok oldalszámának összege is az élek számának a kétszerese. A piros csúcsokkal rendelkező lapnak

c_{p}

, a többi lapnak legalább 3 oldala lévén,

2 e \geq c_{p} + (l - 1) 3

, azaz

\begin{matrix} l \leq 1 + \frac{2 e - c_{p}}{3} . \end{matrix}

(3)

A (3) és (1) összevetésével

\begin{matrix} e + 2 - c_{p} - c_{k} = l \leq 1 + \frac{2 e - c_{p}}{3}, \end{matrix}

innen pedig

\begin{matrix} e \leq 2 c_{p} + 3 c_{k} - 3; \end{matrix}

ez ellentmond (2)-nek, ami a feladat állítását bizonyítja.

Ivaskó György (Baja, III. Béla Gimn., 12. o.t.) megoldása alapján

Megjegyzés. Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Kísérl. Gimn., 11. o.t.) megjegyezte, hogy a bizonyításból az is következik, hogy nemcsak egy, hanem legalább két csúcs létezik, amely az előírt tulajdonságú. Egy példával azt is megmutatja, hogy általában ennél több már nem követelhető meg.