Kezdőlap


Feladat:	B.3297	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton
Füzet:	2000/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Számtani közép, Kvadratikus közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: B.3297

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán lévő kifejezést az $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ azonosságot és a Pitagorasz-tételt felhasználva:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b (a + b + c)} = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) + (a^{2} + b^{2}) c}{a b (a + b + c)} = \\ = \frac{(a + b + c) (a^{2} + b^{2}) - (a + b) a b}{a b (a + b + c)} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} - \frac{a + b}{a + b + c} . \end{matrix} \end{matrix}

Elegendő tehát megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} - \frac{a + b}{a + b + c} \geq \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(1)

Ismert, hogy

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

, amiből következik, hogy

\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq 2

, hiszen

a

és

b

pozitív számok. Belátjuk, hogy

\frac{a + b}{a + b + c} \leq 2 - \sqrt[]{2}

. Átszorozva és rendezve:

\begin{matrix} (\sqrt[]{2} - 1) (a + b) \leq (2 - \sqrt[]{2}) c . \end{matrix}

Ezt elosztva

(\sqrt[]{2} - 1)

-gyel kapjuk, hogy

(a + b) \leq \sqrt[]{2} c

.
Ismét használva Pitagorasz tételét, majd mindkét oldalt 2-vel osztva:

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} \leq \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}, \end{matrix}

ami a számtani és a négyzetes közép közti ismert egyenlőtlenség. Ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az eredeti

\frac{a + b}{a + b + c} \leq 2 - \sqrt[]{2}

egyenlőtlenség is teljesül. Az (1) egyenlőtlenség ezután már egyszerűen adódik:

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} - \frac{a + b}{a + b + c} \geq 2 - (2 - \sqrt[]{2}) = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ezzel az eredeti egyenlőtlenséget is bebizonyítottuk. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

a = b

, azaz ha a derékszögű háromszög egyenlő szárú.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján