Kezdőlap


Feladat:	B.3294	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2000/február, 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: B.3294

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a \circ b = a b + a + b = (a + 1) (b + 1) - 1$ ; tehát $a \circ b$ jelöli azt a számot, amelyet $a$ és $b$ letörlésekor a táblára írunk. Látható, hogy ez a művelet kommutatív. Belátjuk, hogy $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ , így asszociatív is:

\begin{matrix} \begin{matrix} (a \circ b) \circ c & = ((a + 1) (b + 1) - 1 + 1) (c + 1) - 1 = (a + 1) (b + 1) (c + 1) - 1, \\ a \circ (b \circ c) & = (a + 1) ((b + 1) (c + 1) - 1 + 1) - 1 = (a + 1) (b + 1) (c + 1) - 1. \end{matrix} \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a végeredményül kapott szám nem függ a letörölt számok sorrendjétől. Ezek után belátjuk, hogy tetszőleges

x_{1}

x_{2}

...

x_{n}

számokra

\begin{matrix} x_{1} \circ x_{2} \circ ... \circ x_{n} = (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) ... (x_{n} + 1) - 1. \end{matrix}

A bizonyítást

n

-re vonatkozó teljes indukcióval végezzük. Az imént beláttuk, hogy

n \leq 3

esetén igaz az állítás. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamely

n

-re. Ekkor ezt felhasználva

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} \circ x_{2} \circ ... x_{n} \circ x_{n + 1} = ((x_{1} + 1) (x_{2} + 1) ... (x_{n} + 1) - 1) \circ x_{n + 1} = \\ = (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) ... (x_{n} + 1) (x_{n + 1} + 1) - 1, \end{matrix} \end{matrix}

tehát

(n + 1)

-re és így minden természetes számra is igaz. Ezért mindig ugyanaz a szám marad a táblán, éspedig

\begin{matrix} (1 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot ... \cdot (20 + 1) - 1 = 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 21 - 1 = 21! - 1. \end{matrix}