Kezdőlap


Feladat:	A.215	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baharev Ali , Dezső Balázs , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Reviczky Ádám János , Zábrádi Gergely
Füzet:	2000/február, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok lineáris kombinációi, Vektorok skaláris szorzata, Térgeometriai bizonyítások, Ponthalmazok távolsága, Sík egyenlete, Koordináta-geometria, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: A.215

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először kifejezzük a $P Q R$ sík és $O$ távolságát az $O P$ , $O Q$ és $O R$ szakaszok hosszának segítségével. Vegyünk fel egy olyan koordináta-rendszert, amelynek origója $O$ , és tengelyei az $O P$ , $O Q$ , $O R$ irányokba mutatnak. Az $O P$ , $O Q$ , $O R$ távolságokat $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ -mal jelölve, a $P Q R$ sík egyenletét tengelymetszetes alakban írva $\frac{x}{d_{1}} + \frac{y}{d_{2}} + \frac{z}{d_{3}} = 1$ , amiből a távolság

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{\frac{1}{d_{1}^{2}} + \frac{1}{d_{2}^{2}} + \frac{1}{d_{3}^{2}}}} . \end{matrix} \end{matrix}

A továbbiakban tehát azt kell igazolnunk, hogy az

\frac{1}{d_{1}^{2}} + \frac{1}{d_{2}^{2}} + \frac{1}{d_{3}^{2}}

kifejezés értéke nem függ a

P

Q

R

pontok megválasztásától.
Vegyük most fel koordináta-rendszerünket az ellipszoid tengelyei irányában. Így az ellipszoid egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 \end{matrix}

(1)

alakban írható, ahol

a

b

és

c

a féltengelyek hossza.
Legyen a három koordináta-egységvektor

e_{1}

e_{2}

e_{3}

, ezen kívül

\frac{\vec{O P}}{d_{1}} = v_{1}

\frac{\vec{O Q}}{d_{2}} = v_{2}

\frac{\vec{O R}}{d_{3}} = v_{3}

. Végül legyen

u_{i j} = e_{i} v_{j}

.
A feltételek szerint a

v_{1}

v_{2}

v_{3}

vektorok egységnyi hosszúak és páronként merőlegesek. Ebből következik, hogy tetszőleges

i

-re

\begin{matrix} \begin{matrix} e_{i} = u_{i 1} v_{1} + u_{i 2} v_{2} + u_{i 3} v_{3} \\ és \\ u_{i 1}^{2} + u_{i 2}^{2} + u_{i 3}^{2} = | e_{i} |^{2} = 1. \end{matrix} \end{matrix}

(1)-be behelyettesítve

P

Q

R

koordinátáit, azaz a

(d_{j} u_{1 j}, d_{j} u_{2 j}, d_{j} u_{3 j})

számhármasokat,

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{{(d_{j} u_{1 j})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(d_{j} u_{2 j})}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(d_{j} u_{3 j})}^{2}}{c^{2}} = 1, (j = 1,2,3) \\ azaz \\ \frac{1}{d_{j}^{2}} = \frac{u_{1 j}^{2}}{a^{2}} + \frac{u_{2 j}^{2}}{b^{2}} + \frac{u_{3 j}^{2}}{c^{2}} . (j = 1,2,3) \end{matrix} \end{matrix}

Ezeket összegezve

j

értékeire,

\begin{matrix} \frac{1}{d_{1}^{2}} + \frac{1}{d_{2}^{2}} + \frac{1}{d_{3}^{2}} = \frac{u_{11}^{2} + u_{12}^{2} + u_{13}^{2}}{a^{2}} + \frac{u_{21}^{2} + u_{22}^{2} + u_{23}^{2}}{b^{2}} + \frac{u_{31}^{2} + u_{32}^{2} + u_{33}^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} . \end{matrix}

Megjegyzés. A megoldás szó szerint ugyanez akárhány dimenzióban.