|
Feladat: |
Gy.3270 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ambrus Gergely , Andrássy Zoltán , Árvay Eszter , Bálint Gergely , Bartha Tamás , Birkner Tamás , Boros Vazul , Gerencsér Balázs , Harangi Viktor , Horváth Balázs , Koch Dénes , Lovrics Anna , Nagy Zoltán , Pallos Péter , Pogátsa Attila , Tóth Ágnes , Varjú Péter |
Füzet: |
2000/február,
91 - 92. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatóság, Algebrai átalakítások, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/április: Gy.3270 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mivel páros egész, azért van olyan egész szám, amelyre . Az alapú számrendszerbeli -jegyű csupa 1-esből álló szám | | Nyilván és , ezért az első tényező legalább 5, a második tényező pedig nagyobb, mint , és mindkét tényező egész szám. Tehát, ha páros szám, akkor tetszőleges számrendszerben felírható két 1-nél nagyobb pozitív egész szám szorzataként a fent látható módon, azaz összetett szám, így nem lehet prím.
II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseivel most | | Most is mindkét tényező 1-nél nagyobb pozitív szám, hiszen miatt és ( legalább 4, legalább 2), tehát ilyen módon is szorzattá bontható, így nem lehet prím.
Bálint Gergely (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.) |
Megjegyzések. 1. Az első megoldásban lényegében azt számoltuk ki, hogy az alapú számrendszerben felírt számnak ‐ nyilván valódi ‐ osztója az szám, a másodikban pedig, hogy osztható az számmal is. Az első eset az , a második az azonosságot rejti. 2. A feladat természetes módon általánosítható: ha az valódi osztója, akkor is valódi osztója -nek, amely tehát nem lehet prímszám.
|
|