Feladat: Gy.3270 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Andrássy Zoltán ,  Árvay Eszter ,  Bálint Gergely ,  Bartha Tamás ,  Birkner Tamás ,  Boros Vazul ,  Gerencsér Balázs ,  Harangi Viktor ,  Horváth Balázs ,  Koch Dénes ,  Lovrics Anna ,  Nagy Zoltán ,  Pallos Péter ,  Pogátsa Attila ,  Tóth Ágnes ,  Varjú Péter 
Füzet: 2000/február, 91 - 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Algebrai átalakítások, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/április: Gy.3270

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Mivel n>2 páros egész, azért van olyan k2 egész szám, amelyre n=2k. Az a alapú számrendszerbeli 2k-jegyű csupa 1-esből álló szám
a2k-1+a2k-2+...+ak+ak-1+ak-2+...+a+1==ak(ak-1+ak-2+...+a+1)+ak-1+ak-2+a+1==(ak+1)(ak-1+ak-2+...+a+1).
Nyilván a2 és k2, ezért az első tényező legalább 5, a második tényező pedig nagyobb, mint ak-12, és mindkét tényező egész szám.
Tehát, ha n>2 páros szám, akkor 11...1n tetszőleges számrendszerben felírható két 1-nél nagyobb pozitív egész szám szorzataként a fent látható módon, azaz összetett szám, így nem lehet prím.
 
II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseivel most
a2k-1+a2k-2+a2k-3+a2k-4+...+a+1==a2k-2(a+1)+a2k-4(a+1)+...+(a+1)=(a+1)(a2k-2+a2k-4+...+1).
Most is mindkét tényező 1-nél nagyobb pozitív szám, hiszen a2 miatt a+13 és a2k-2=an-2a4-2=a222=4 (n legalább 4, a legalább 2), tehát 111...1n ilyen módon is szorzattá bontható, így nem lehet prím.
 Bálint Gergely (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Az első megoldásban lényegében azt számoltuk ki, hogy az a alapú számrendszerben felírt An=11...12k számnak ‐ nyilván valódi ‐ osztója az 11...1k szám, a másodikban pedig, hogy An osztható az A2=11 számmal is.
Az első eset az a2k-1a-1=(ak+1)ak-1a-1, a második az a2k-1a-1=(a+1)a2k-1a2-1 azonosságot rejti.
2. A feladat természetes módon általánosítható: ha d az n valódi osztója, akkor ad=11...1d is valódi osztója An-nek, amely tehát nem lehet prímszám.