Feladat: Gy.3256 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy Gergely ,  Spanczér Ilona 
Füzet: 2000/február, 89 - 90. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/február: Gy.3256

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha ez az egyenlőség fennáll a p, q és r (nem feltétlenül pozitív) prímszámokra, akkor p-q-r≠0 (q≠0, r≠0); mindkét oldalt qr(p-q-r)-rel megszorozva:

rq=(p-q-r)⋅r+(p-q-r)q,azazrq=(p-q-r)(r+q).
Az r és q prímek, így az rq szorzatnak 8 osztója lehet: 1, -1, r, q, -r, -q, rq, -rq, tehát p-q-r, illetve r+q csakis ezek közül kerülhet ki. Nézzük végig az összes esetet:

 

I. p-q-r=1. Ekkor r+q=rq, vagyis 0=rq-r-q, amiből 1=(q-1)(r-1), tehát q és r vagy 0 (akkor nem lennének prímek), vagy q=r=2, ahonnan p=5.
 

II. p-q-r=-1. Ekkor r+q=-rq, rq+r+q=0, (r+1)(q+1)=1, tehát r és q vagy 0 (akkor nem prímek), vagy q=r=-2, ahonnan p=-5.
 

III. p-q-r=r. Ekkor r+q=q, ahonnan r=0 lenne, ami nem prím.
 

IV. p-q-r=q. Ekkor r+q=r, ahonnan q=0 lenne, ami nem prím.
 

V. p-q-r=-r. Ekkor r+q=-q, r=-2q, ez nem lehetséges, ha r is és q is prímek.
 

VI. p-q-r=-q. Ekkor r+q=-r, q=-2r, ez sem lehetséges, ha r is és q is prímek.
 

VII. p-q-r=rq. Ekkor r+q=1, ami csak akkor lehetséges az r és q prímszámokra, ha r=-2, q=3 vagy r=3, q=-2. Mindkét esetben p-1=-6, azaz p=-5.
 

VIII. p-q-r=-rq. Ekkor r+q=-1, ez csak akkor lehetséges az r és q prímekre, ha r=-3, q=2 vagy r=2, q=-3. Mindkét esetben p+1=6, azaz p=5.

Látható, hogy minden esetet megvizsgáltunk, sem p-q-r, sem r+q nem vehetnek fel más értékeket, tehát a feladatnak az alábbi 6 megoldása van:
 
  p   q   r   5   2   2   -5   -2   -2   -5   3   -2   -5   -2   3   5   2   -3   5   -3   2 
 

 Spanczér Ilona (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., 9. o.t.)

 
Megjegyzés. Hasonlóan, esetszétválasztással oldható meg a feladat úgy is, ha azt vizsgáljuk, hogy rqr+q mikor lehet egész, erre példa Nagy Gergely (Veszprém, Lovassy L. Gimn., 10. o.t.) megoldása.