Legyen a tizenkét szám ebben a sorrendben $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_{12}$, az egymás melletti számhármasok összege pedig $S_1=a_{12}+a_1+a_2$, $S_2=a_1+a_2+a_3$, $\text{...}$, $S_{12}=a_{11}+a_{12}+a_1$. Ezek összege, $S_1+S_2+\text{...}+S_{12}=3\left(a_1+a_2+\text{...}+a_{12}\right)=234$. Az $S_i$ összegek átlaga így $\mathrm{19,5}$, van tehát köztük legalább ekkora. Másfelől ezek az összegek egész számok, azért valóban van köztük olyan, amelyiknek legalább 20 az értéke.
Azt állítjuk, hogy a feladat második kérdésére is igenlő a válasz, az $S_i$ összegek között van 20-nál nagyobb is.
Tegyük fel, hogy ez nem igaz, a 12 szám elrendezhető úgy, hogy ne legyen 20-nál nagyobb $S_i$ összeg. Ha hatnál kevesebb 20 értékű $S_i$ összeg volna, akkor a tizenkét összeg összege legfeljebb $5\cdot 20+7\cdot 19=233$ lenne, ami lehetetlen. A 20 értékű összegek száma így legalább 6. Ha 7 vagy ennél is több ilyen összeg van, akkor van köztük két szomszédos, azaz $S_i=a_{i-1}+a_i+a_{i+1}=S_{i+1}=a_i+a_{i+1}+a_{i+2}=20$. Szomszédos összegek értéke viszont egyáltalán nem lehet egyenlő, hiszen ebből $a_{i-1}=a_{i+2}$ következne.
Ha pontosan 6 maximális összeg van, akkor ahhoz, hogy 234 legyen a 12 számhármas összegének az összege, a további 6 számhármas mindegyikének összege 19 kell legyen.
A szomszédos összegek között nincsenek egyenlők, így a 12 számhármasban felváltva követik egymást a 19 és a 20 értékű összegek. Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges, feltétlenül van két szomszédos összeg, amelyek eltérése nagyobb, mint 1.

1. ábra   2. ábra