A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Forgassuk el a kockát az testátlója körül -kal. Tudjuk, hogy ekkor önmagába megy át, hasonlóképpen a és egyenlő oldalú háromszögek is önmagukba mennek át.
1. ábra Az sík tehát párhuzamos a síkkal, ezért a pontnak a síktól való távolsága helyett elegendő a két párhuzamos sík távolságát meghatároznunk. A és egyenlő oldalú háromszögek középpontja egybeesik a súlypontjukkal, és illeszkedik az testátlóra, amelyik mindkét síkra merőleges. Számítsuk ki e két súlypont távolságát. Legyenek -ból a , , illetve pontba mutató vektorok , és , a súlypontok és (1. ábra). Ekkor az ismert összefüggés szerint | | Ebből következik, hogy a súlypontok távolsága a testátló hosszának -a, azaz .
Somlai Henrietta (Pápa, Református Gimn., 11. o.t.) |
II. megoldás. Helyezzük el a kockát egy térbeli koordináta-rendszerben úgy, hogy csúcsa az origóba essék, lapjával az síkon álljon az első térnegyed pozitív felén (2. ábra).
2. ábra Írjuk fel a , , és pontok koordinátáit | | Ezek után írjuk fel a , , pontokra illeszkedő sík egyenletét. Ennek általános alakja Behelyettesítve a , és pontok koordinátáit: | | Az egyenletrendszerből , , , tehát ha , akkor a , , pontokon átmenő sík egyenlete: -val osztva pedig Az ismert összefüggés szerint a pont távolsága az egyenletű síktól Behelyettesítve, a távolság ahogyan azt az első megoldásban is láttuk.
László L. András (Veszprém, Ipari Szki. és Gimn., 10. o.t.) |
|
|