Feladat:	C.549	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	László L. András ,  Somlai Henrietta
Füzet:	2000/február, 86 - 87. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kocka, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Vektorok felbontása összetevőkre, Tengely körüli forgatás, Sík egyenlete, Ponthalmazok távolsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: C.549

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Forgassuk el a kockát az $AG$ testátlója körül ${120}^{\circ }$-kal. Tudjuk, hogy ekkor önmagába megy át, hasonlóképpen a $HFC$ és $EDB$ egyenlő oldalú háromszögek is önmagukba mennek át.   1. ábra   Az $EDB$ sík tehát párhuzamos a $HFC$ síkkal, ezért a $P$ pontnak a $HFC$ síktól való távolsága helyett elegendő a két párhuzamos sík távolságát meghatároznunk. A $HFC$ és $EDB$ egyenlő oldalú háromszögek középpontja egybeesik a súlypontjukkal, és illeszkedik az $AG$ testátlóra, amelyik mindkét síkra merőleges. Számítsuk ki e két súlypont távolságát. Legyenek $A$-ból a $B$, $D$, illetve $E$ pontba mutató vektorok $\text{x}$, $\text{y}$ és $\text{z}$, a súlypontok $S_1$ és $S_2$ (1. ábra). Ekkor az ismert összefüggés szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overrightarrow{AG}=\text{x}+\text{y}+\text{z}\mathrm{,}\overrightarrow{A{S}_1}=\frac{\text{x}+\text{y}+\text{z}}{3}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{A{S}_2}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}}{3}=\frac{\left(\text{x}+\text{y}\right)+\left(\text{x}+\text{z}\right)+\left(\text{y}+\text{z}\right)}{3}=\frac{2\left(\text{x}+\text{y}+\text{z}\right)}{3}\mathrm{.}}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<br>Így}}\\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{S_1{S}_2}=\frac{\text{x}+\text{y}+\text{z}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AG}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ebből következik, hogy a súlypontok távolsága a testátló hosszának $\frac{1}{3}$-a, azaz $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$.  Somlai Henrietta (Pápa, Református Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Helyezzük el a kockát egy térbeli koordináta-rendszerben úgy, hogy $D$ csúcsa az origóba essék, $ABCD$ lapjával az $x\mathrm{,}y$ síkon álljon az első térnegyed pozitív felén (2. ábra).   2. ábra   Írjuk fel a $H$, $F$, $C$ és $P$ pontok koordinátáit $\begin{array}{c}{\displaystyle H\left(0;0;1\right)\mathrm{,}F\left(1;1;1\right)\mathrm{,}C\left(0;1;0\right)\mathrm{,}P\left(1;\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek után írjuk fel a $H$, $F$, $C$ pontokra illeszkedő sík egyenletét. Ennek általános alakja $\begin{array}{c}{\displaystyle ax+by+cz+d=0.}\end{array}$ Behelyettesítve a $H$, $F$ és $C$ pontok koordinátáit: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle c+d=\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle H:}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a+b+c+d=\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle F:}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle b+d=\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle C:}\end{array}}}\end{array}$ Az egyenletrendszerből $a=d$, $b=-d$, $c=-d$, tehát ha $d\ne 0$, akkor a $H$, $F$, $C$ pontokon átmenő sík egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle dx-dy-dz+d=0}\end{array}$ $d\ne 0$-val osztva pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle x-y-z+1=0.}\end{array}$ Az ismert összefüggés szerint a $P\left(x_1;y_1;z_1\right)$ pont távolsága az $ax+by+cz+d=0$ egyenletű síktól $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve, a távolság $\frac{\left|1-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1\right|}{\sqrt[]{3}}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\mathrm{,}$ ahogyan azt az első megoldásban is láttuk.  László L. András (Veszprém, Ipari Szki. és Gimn., 10. o.t.)